Multiplicación de números enteros

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Empecemos con este ejemplo:

Enrique se dirige de Arequipa a Trujillo a una velocidad promedio de 60 Km por hora y Jorge, de Trujillo a Tacna también a 60 Km por hora, cruzándose en Lima justo a medianoche u hora 0.
-¿A qué distancia de Lima se halla Enrique 2 horas después del cruce?
-¿A qué distancia de Lima se encontraba Enrique 2 horas antes del cruce?
-¿A qué distancia de Lima se halla Jorge 2 horas después del cruce?
-¿A qué distancia de Lima de hallaba Jorge antes del cruce?

 Solución:
Para ponerlo más fácil denotamos la velocidad de Enrique por +60 y la de Jorge por -60, Lima como el punto de 0 y las distancias de Lima al norte por números positivos y al sur, por números negativos, las horas posteriores a esa medianoche como positivas y las anteriores como negativas. Sigamos:

a)Enrique 2 horas después del cruce está a:
+60 . +2 = +120 de Lima, esto, es, a 120 Km al norte de Lima.
b)Enrique 2 horas antes del cruce está a:
+60 . -2 = -120 de Lima, es decir, 120 Km al sur de Lima.
c)Jorge 2 horas después del cruce está a:
-60 . -2 = -120 de Lima, o sea, a 120 Km al sur de Lima.
d)Jorge 2 horas antes del cruce está a:
-60 . -2 = +120 de Lima, esto es, a 120 Km al norte de Lima.

En este ejemplo vemos que el producto de dos números de igual signo es positivo y el de dos números de distinto signo es negativo. Esto constituye la llamada Ley de los signos de la multiplicación que puede presentarse en la tabla:

La multiplicación en números enteros es la operación que a cada par de números enteros A y B, llamados factores, hace corresponder su producto AB.

Propiedades

1.Propiedad de Clausura, el producto de dos números enteros es otro número entero.

 2.Propiedad asociativa:
   (ac) c = a (bc)

 3.Elemento neutro o identidad multiplicativa, existe en Z el elemento neutro multiplicativo 1 tal que:
 a . 1 = a = 1 . a

 4.Propiedad conmutativa, el orden de los factores no altera el producto.

 5.Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y sustracción:
a ( b + c ) = ab + ac
a ( b - c ) = ab - ac

 Propiedades de la multiplicación, igualdad y desigualdad en Z:

 1.Si a = b, entonces ac = bc
2.Si ac = bc y c ≠ 0, entonces a = b
3.Si a < b y c > 0, entonces ac < bc
4.Si a < b y c < 0, entonces ac > bc
5.Si ac < bc y c > 0, entonces a < b
6.Si ac < bc y c < 0, entonces a > b

Ejercicios:
1.Un joven de situación económica modesta, pero deseoso de estudiar y ser profesional, pidió apoyo de un tío para sufragar sus estudios universitarios con el compromiso que al comenzar a trabajar devolvería todo el dinero prestado. Se sabe que desde su primer sueldo se propuso pagar mensualmente 100 soles y una vez cancelada su deuda, continuar ahorrando la misma suma con la idea de adquirir una casa. Suponiendo que lo que se propuso se está cumpliendo y que el presente mes ha cancelado su deuda:
a)¿Cuál era su situación económica hace 10 meses?
b)¿Cuál, hace 3 meses?
c)¿Cuál será dentro de 6 meses?
d)¿Cuál, dentro de un año?
e)¿Cuál era hace 2 años?

 2.Ricardo ha dejado de trabajar, recibiendo una indemnización de 1 200 soles con lo cual sufraga sus gastos imprescindibles, mientras consigue un nuevo trabajo. Si estos gastos ascienden a 200 soles mensuales y se sabe que el presente mes se agota dicha indemnización, sin haber conseguido una nueva colocación:
a)¿Cuál era su situación económica hace 5 meses?
b)¿Cuál, hace 3 meses?
c)¿Cuál, hace un mes?
d)¿Cuál sería dentro de un mes?
e)¿Cuál, dentro de dos meses, si aún no consigue trabajo?

 3.Luis se dirige de Tacna a Chiclayo a una velocidad promedio de 80 Km/h y José, de Trujillo a Tacna a 70 Km/h, cruzándose en Lima justo a la media noche (Hora cero):
a)¿A qué distancia de Lima se hallaba Luis 3 horas antes del cruce?
b)¿A qué distancia de Lima se hallaba José 4 horas antes del cruce?
c)¿A qué distancia de Lima se hallará Luis 5 horas después del cruce?
d)¿A qué distancia de Lima se hallará José 4 horas después del cruce?
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