Radicación en números enteros Z

Buen día matemáticos, en esta ocasión les explicaré cómo realizar la radicación en números enteros, veremos también las raíces cuadradas exactas e inexactas y por último la aplicación de la radicación a la geometría.

Hemos visto que la potenciación en Z con exponente entero positivo es la operación en la que: dado un número entero cualquiera b, llamado base, y un entero positivo n, llamado exponente, se trata de hallar su potencia bⁿ.

Así:

Si b = 5 y n = 2, se trata de hallar 5² = 25

Si b = -5 y n = 2, se trata de hallar -5² = 25

Ahora nos interesa el caso en que: dada la potencia bⁿ y el número entero positivo n, se trata de hallar el número entero b.A la operación que nos permite esto se llama radicación.

Así:

25 y 2, se trata de hallar el 5 ó el -5
Esto se denota por:

Para pasar de la potenciación a la radicación, ocurre que:

La potencia a pasa a ser cantidad subradical o radicando.

El exponente n pasa a ser índice de la raíz.

La base b pasa a ser la raiz.

Recordemos que:

La potencia par de todo número entero es positiva. Según esto:

La raíz par (índice par) de cualquier número positivo tiene doble sígno (son dos números opuestos).

Así, la raíz cuadrada de 9 es 3 y -3; de 25 es 5 y -5; la raíz cuarta de 16 es 2, -2, y dos raices imaginarias.

La raíz par de un número negativo no existe en Z, puesto que, no existe ningún número que elevado a un exponente par se obtenga un número negativo. En este caso se dice que la raíz par de un número negativo es imaginaria.

La potencia impar de todo número entero tiene el mismo signo que la base.

Según esto, la raíz impar (índice impar) de cualquier número entero tiene el mismo signo que la cantidad subradical.

Se dice que la raíz n-ésima de un número entero es exacta, si dicha raíz es un número entero. En caso contrario se dice que es inexacta.

RAIZ CUADRADA DE UN NUMERO ENTERO POSITIVO
Si a es un número positivo, la raíz cuadrada de a se escribe:

Si un número entero tiene raíz cuadrada exacta se dice que es un cuadrado perfecto.
Así, 16 es un cuadrado perfecto porque sus raíces son 4 y -4.

RAICES CUADRADAS INEXACTAS
Veamos un ejemplo:
Hallar las raíces cuadradas de 174.
Según la tabla de raíces cuadradas de cuadrados perfectos se tiene:
169 < 174 < 196
De esto:

174 = 13² + 5 y 174 = -13² + 5

Entonces las raíces cuadradas de 174 son 13 y -13, con un residuo 5.

De esto podemos decir que:

Si a es la cantidad subradical o radicando, con a > 0, b₁ y b₂, son las raíces cuadradas y r, el residuo, entonces decimos que b₁ y b₂ son las raíces cuadradas por defecto de a.

APLICACIONES DE LA RADICACION A LA GEOMETRIA

Entre algunas de estas aplicaciones tenemos:

La raíz cuadrada se usa para calcular el lado de un cuadrado cuando se conoce el área de éste.

Así:

La raíz cúbica se usa para calcular la arista de un cubo cuyo volumen se conoce.

Así:

Si buscas Radicación en números racionales Q entra aquí.

Ejercicios:

1.Completa la siguiente tabla:

2.Completa la siguiente tabla:

3.Hallar las raíces cuadradas y el residuo de:

89            199            324

128          234            385

154          288            408

4.¿Cuánto mide el cuadrado de 225m² de área?

5.Un terreno cuadrado tiene 900m². ¿Cuánto mide cada lado?

6.La capacidad de un recipiente cúbico es de 125 litros. ¿Cuánto mide su arista?

7.Un recipiente lleno de vino está valorado en 768 soles. Si el litro de este vino cuesta 12 soles, ¿Cuánto mide la arista de dicho recipiente?

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