Potenciación en números enteros Z con exponente entero positivo: propiedades y su aplicación a la geometría

Recordemos que en números naturales (N) la potenciación es la operación que a cada par de números naturales b y n hace corresponder su potencia bⁿ, donde b es la base y n, el exponente.

bⁿ significa que la base b se debe repetir n veces como factor.

Así:

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2 x 2 = 4                                       n veces 2

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

………………………..

2 = 2 x 2 x … x 2 

b⁰ = 1

b¹ = b

b² = b x b                                             n veces b

b³ = b x b x b

……………………..

bⁿ = b x b x … x b

Observamos que la potencia  bⁿ, con b y n, números naturales, es un número natural.

Vamos a considerar el caso en que la base b sea un número entero y el exponente un número entero positivo o número natural.

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

-2³ = -2 x -2 x -2 = -8

3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

-3⁴ = -3 x -3 x -3 x -3 = 81

5³ = 5 x 5 x 5 = 125

-5³ = -5 x -5 x -5 = -125

PROPIEDADES:

1.La potencia bⁿ, con bⁿ pertenece a Z y n pertenece +Z₀, es un número entero.

Ejemplo:

-2³ = -8            -5³ = -125

4² = 16              5⁴ = 625

-4² = 16            -6³ = -216

2. Paridad del exponente y signo de la potencia.

Observando:

2² = 2 x 2 = 4

-2² = -2 x -2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

-2³ = -2 x -2 x -2 = -8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

-2⁴ = -2 x -2 x -2 x -2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

-2⁵ = -2 x -2 x -2 x -2 x -2 = -32

La potencia de cualquier número entero positivo es positiva.

La potencia par (cuando n es par) de cualquier número entero negativo es positivo y su potencia impar es negativa. Esto quiere decir que la potencia impar tiene el mismo signo que la base.

3.Producto de potencias de la misma base.

Observemos:

-2³ x -2² = -2 x -2 x -2 x -2 x -2 = -2⁵ = -2³⁺²

-3⁴ x -3² = -3 x -3 x -3 x -3 x -3 x -3 = -3⁶ = -3⁴⁺²

b^m . bⁿ = b^m+n

El producto de potencias b^m y bⁿ de base b y exponentes m y n es la potencia b^m+n, cuya base es b y exponente igual a la suma de los exponentes m y n.

4.Cociente de potencias de la misma base.

Observemos:

2⁷ : 2⁴ = 128 : 16 = 2³ = 2^7-4

-2⁷ : -2⁴ = -128 : 16 = -2³ = -2^7-4

4⁵ : 4³ = 1024 : 64 = 16 = -2³ = -2^7-4

8³ : 8² = 512 : 64 = 8 = 8¹ = 8^3-2

b^m : bⁿ = b^m-n

El cociente de dos potencias de la misma base es igual a la potencia cuya base es la base común con exponente igual a la diferencia del exponente de la potencia dividendo menos el de la potencia divisor.

Recordar que para realizar el producto o el cociente de potencias de bases distintas no hay otra regla que efectuar las potencias y luego el producto o cociente respectivo.

5.Producto de potencias de bases diferentes y exponentes iguales.

3² x 2² = 3 x 3 x 2 x 2 = (3 x 2) x (3 x 2) = (3 x 2)²

5³ x 4³ = 5 x 5 x 5 x 4 x 4 x 4 = (5 x 4) x (5 x 4) x (5 x 4) = (5 x 4)³

8⁵ x 9⁵ = (8 x 9)⁵

2⁷ x 5⁷ = (2 x 5)⁷ = 10⁷ = 10 000 000

a^m b^m = (ab)^m

El producto de potencias distintas y exponente iguales es igual a la potencia cuya base es el producto de las bases dadas y cuyo exponente es el exponente común.

6.Cociente de potencias de bases distintas y exponentes iguales.

6³ : 2³ = 216 : 8 = 27 = 3³ = (6 : 2)³

15² : -5² = (15 : -5)² = -3² = 9

18⁴ : 9⁴ = (18 : 9)⁴ = 2⁴ = 16

a^m : b^m = (a : b)^m

El cociente de potencias de bases distintas y exponentes iguales es igual a la potencia cuya base es el cociente de las bases dadas y el exponente es el exponente común. 

7.Potencia de potencia

(2³)² = (2³) x (2³) = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) = 2⁶ = 2^3x2

(3²)⁴ = 3^2x4 = 3⁸ = 6 561

(b^m)ⁿ = b^mn

La potencia de potencia es igual a la potencia cuya base es la base dada y cuyo exponente es el producto de los exponentes dados.

APLICACION DE LA POTENCIACION A LA GEOMETRIA

Entre algunas de estas aplicaciones tenemos:

1.La potencia b² se usa para calcular el área de un cuadrado de lado b.

Así:

El área de un cuadrado de 3m de lado es:

2.La potencia b³ se usa para calcular el volumen de un cubo de arista b. El volumen de un cubo de 4m de arista es:

Ejercicios:

1.Efectuar:

a) -6²             e)3⁶          i)-2¹⁰      m)-8⁴

b)-8²              f)-3⁶          j)2¹⁰        n)8⁵

c)-5⁴              g)4⁵          k)10⁴       o)-12³

d)2⁸               h)-4⁵         l)-12⁴       p)-15²

2.Completar la siguiente tabla:

3.Completar la siguiente tabla:

4.Efectuar:

a)2³ + -3² + -5² -4³

b)4³ x 2² + 5² x -3² - 6² x -5³

c)8² : 2³ + 9² x -4² – 8 x -2³ – 10³ x 5²

d)12⁴ : 3⁴ – 8² : 4 + 10² x 3² -7³ x 4²

e)10⁵ : 5⁵ - -9³ x -4² + 2⁶ : 4² + 5³ x 4² -2⁵ : 2³

f)(3⁸ x 3²) : 3⁷ + (-8² : 4³) x 2³ -10² x 3⁰ - -8³ : 8

5.¿Cuál es el área de un cuadrado de 10cm de lado?

6.¿Cuál es el área de un terreno cuadrangular de 20m de lado?

7.¿Cuánto vale un terreno cuadrado de 15m de lado, si el metro cuadrado está valorado a 80 nuevos soles?

8.¿Cuál es el área de un terreno rectangular de 20m de largo por 10m de ancho?

9.¿Cuál es el volumen de un cubo de 10cm de arista?

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