Mínimo común múltiplo

Los múltiplos de un número se encuentran multiplicando dicho número por cualquier número natural. Así los múltiplos de 6 son: 0 , 6 , 12 , 18 , ... Para efectos del cálculo se usan los múltiplos distintos de cero. En adelante, al referirnos a los múltiplos de un número sobreentenderemos que éstos son diferentes de cero.

Así, el conjunto de múltiplos de 6 es:

M₆ = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , …}

y el de los múltiplos de 8:

M₈ = { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , … }

Al conjunto:

M₆ ∩ M₈ = { 24 , 48 , 72 , … } llamamos conjunto de múltiplos comunes de 6 y 8.

Un número A es múltiplo común o común múltiplo de B y C si A es divisible entre B y C.

Al menor de los múltiplos comunes de dos o más números llamamos Mínimo Común Múltiplo, que simbolizaremos por mcm.

Así, el mcm de 6 y 8 es 24, que se escribe:

mcm ( 6 , 8 ) = 24

Método para calcular el Mínimo común múltiplo de dos o más números
Por el máximo común divisor
El mcm de dos números es igual a su producto dividido entre su mcd.

Ejemplo:

Por descomposición en sus factores primos

El mcm de dos o más números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Ejemplos:

Método abreviado

Se divide uno de los números dados por su menor divisor, primo común o no a los demás. Si este menor divisor es común a dos o más números, se divide simultáneamente.

Se procede del mismo modo con los cocientes hasta obtener que todos los cocientes sean 1. El mcm es el producto de todos los divisores primos.

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre 12 y 15 niños, para que en cada caso un niño reciba una cantidad exacta? ¿Cuántos caramelos recibe un niño en cada caso?

2.-¿Qué números menores de 150 y diferentes de 0 son divisibles a la vez por 2 , 5 y 7 ?

3.-Las edades de Roberto y la de su hijo están comprendidas entre 30 y 75 y son, a la vez, divisibles entre 5 y 7. ¿Qué edad tiene cada uno?

4.-Tres agentes viajeros de diferentes compañías parten regularmente de la misma ciudad cada 8 , 16 y20 días, respectivamente. La última vez que salieron juntos fue el 2 de enero de 2015, con la promesa de reunirse los tres en la primera oportunidad para intercambiar información sobre el mercado. ¿En qué fecha se produce el reencuentro?

5.-A las 12 del día primero de enero se observaron dos fenómenos atmosféricos. El primero se repite cada 3 horas, 28 minutos y 15 segundos; y el segundo, cada 2 horas, 41 minutos y 42 segundos. ¿Qué día y a qué hora se produjeron simultáneamente por vez pimera?

6.-¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible a la vez entre 5, 7 y 11?

7.-¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible a la vez entre 13, 17 y 19?

8.-¿Qué números menores de 50 son divisibles a la vez entre 2, 3 y 4?

9.-Qué números menores de 300 son divisibles a la vez entre 3, 5 y 7?

10.-Hallar la menor cantidad de dinero que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, para que en cada caso dé un residuo de 4.

11.-Hallar la menor cantidad de dinero que se puede tener en billetes de 5, 10 y 50 soles.

12.-¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 20 cm, 30 cm o de 40 cm?

13.-Hallar la menor cantidad posible de un depósito que se puede llenar en un número exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten 120, 150 y 180 litros por minuto.

14.-Las fiestas patronales de tres pueblos se celebran en forma especial cada 4, 6 y 8 años. ¿Cada cuántos años se celebra simultáneamente la fiesta patronal de estos pueblos?

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