Máximo común divisor

Sabemos que:

  D₁₂ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }   ,   D₁₈ = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 }   y   D₁₂ ∩ D₁₈ = { 1 , 2 , 3 , 6 }

Los números 1 , 2 , 3 , 6 se dice que son los divisores comunes de 12 y 18.

Llamamos divisores comunes de los números A y B a todos los números naturales que dividen simultáneamente a A y B. Si el único divisor común de A y B es 1, se dice que A y B son primos entre sí o primos relativos.

Al mayor de los divisores comunes de los números A y B se denomina MÁXIMO COMÚN DIVISOR de A y B.

Así, 6 es el máximo común divisor (mcd) de los números 12 y 18. Esto es:

mcd ( 12 , 18 ) = 6

Métodos para hallar el máximo común divisor de dos o más números

Por descomposición en sus factores primos

Se descompone cada número en sus factores o divisores primos. El mcd es el producto de los divisores comunes tomados con su menor exponente.

Ejemplo:

Por divisiones sucesivas

Se divide el mayor entre el menor. Si no hay residuo, el número menor es el mcd. Si queda residuo se divide el número menor o primer divisor entre este residuo. Luego se divide el primer residuo entre el segundo, el segundo entre el tercero, y así sucesivamente, hasta que no quede residuo. El mcd es el último divisor empleado.

Ejemplo:

Método abreviado

Se divide simultáneamente los números dados entre sus factores o divisores primos comunes. El mcd es el producto de todos estos divisores comunes.

Ejemplo:

Ejercicios:

1.-¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 24, 48 y 60 caramelos simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba una misma cantidad? ¿ Cuántos caramelos toca por niño en cada caso?

2.-Alberto ha dado a sus tres hijos 8 000 , 7 500 y 6 000 soles para repartir entre los niños huérfanos de la ciudad, de manera que los tres den a cada niño la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada niño? ¿Cuántos son los niños que ayudarán?

3.-Hallar el mayor número entre el cual se puede dividir 450 y 624, obteniéndose residuos de 2 y 8, respectivamente.

4.-Javier posee cuatro fajos de billetes. En cada uno hay 250 , 300 , 350 y 400. Si todos los billetes son de igual y del más alto valor posible, ¿Cuánto vale cada uno, y cuántos hay en cada fajo?

5.-¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 36 , 45 y 54 caramelos simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba una misma cantidad? ¿Cuántos caramelos se reparte por niño en cada caso?

6.-Se desea dividir dos cordeles de 40 y 60 metros de longitud en trozos iguales y de la mayor longitud posible. ¿ Cuál es la longitud de cada trozo resultante? ¿En cuántos se divide cada cordel?

7.-¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente tres cintas de 180 cm, 240 cm y 360 cm?

8.-Hallar el mayor número entre el cuál se puede dividir 522 y 258, obteniéndose un residuo de 10 y 12, respectivamente?

9.-Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes iguales 683 soles y 1 285 soles, cobrando 8 y 10 soles, respectivamente.

10.-Raúl camina en número exacto de pasos avanzando 700 cm, 80 cm y 950 cm. ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso? ¿Cuántos pasos dio en total?

11.-Una cooperativa tiene tres terrenos de 2 775, 3 330 y 4 070 metros cuadrados. Si se quiere dividir en parcelas de igual área, ¿Cuál debe ser la extensión de cada una para que el número de ellas por terreno sea el menor posible?

12.-Se desea dividir tres terrenos de 100 , 120 y 150 hectáreas cada uno en parcelas iguales. Para que el número de parcelas por terreno sea el menor posible, ¿Cuál será el área de cada una?

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