Radicación en números racionales Q

Buen día matemáticos, en este post les explicaré cómo realizar la radicación en números racionales que es casi lo mismo que la radicación en números enteros. Para empezar veremos las propiedades, luego veremos las raíces cuadradas y después les explicaré cómo extraer la raíz cuadrada de un número positivo. Así que empecemos!

Recordemos que al tratar la radicación en Z, hemos visto que:

La raíz n-ésima de un número a es un número b si y sólo si b elevada al exponente n es igual al número a.

En Q se cumple todo lo estudiado en Z con respecto a la radicación.

PROPIEDADES

1.Paridad del índice y existencia de la raíz en Q

La raíz par de cualquier número positivo tiene doble signo (son dos números opuestos).
Así las raíces cuadradas de 4/9 son -2/3 y 2/3.
La raíz par de un número negativo no existe en Q; esto es, no existen números racionales que elevados a un exponente par sea un número racional negativo (se dice que las raíces son imaginarias).
La raíz impar de cualquier número racional tiene el mismo signo que el radicando.

2. Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de la raíces.

3. Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.

4. Raíz de una potencia

La raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz.

La raíz de una potencia se puede escribir como potencia con exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente de la potencia dada y cuyo denominador es el índice de la raíz.

5. Raíz de un producto de potencias

Observamos que cuando el número es muy elevado, se descompone en sus factores primos y luego se expresa como una potencia.

Raíz cuadrada

Antes, recordemos que:

Si un número tiene raíz cuadrada exacta se dice que es un cuadrado perfecto. Todo cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, pero de igual valor absoluto.

Completar la siquiente tabla:

Raíz cuadrada de un número de dos cifras

Veamos los siguientes ejemplos:

Calcular las raíces cuadradas de 40

Según la tabla de raíces cuadradas de cuadrados perfectos vemos que:

   

 36 < 40 < 49

y que:

   

Esto es, las raíces cuadradas de 40 son 6 y -6 con 4 de residuo.

De la misma manera para calcular las raíces cuadradas de 94 se tiene

                                                81 < 94 < 100

y que:

Entonces, las raíces cuadradas de 94 son 9 y -9 con 13 de residuo.

Si a es el radicando, con a > 0 ; b1 y b2 las raíces cuadradas de a con residuo r, entonces: 

Regla practica para extraer la raíz cuadrada de un número positivo

El procedimiento a seguir veremos a través de los siguientes ejemplos:

Calcular la raíz cuadrada de 78 359

1. Separar grupos, o periodos de dos cifras, empezando por la primera cifra de la derecha utilizando un apóstrofo (').

2. Extraer la raíz cuadrada aproximada del primer periodo de la izquierda (7). Esta es la primera cifra de la raíz cuadrada que se busca (2).

3. Elevar al cuadrado esta primera cifra (2) de la raíz y restar este cuadrado (4) del primer periodo (7). Escribir el residuo (3).

4. A la derecha de éste resto (3), colocar el segundo periodo (83). Separar con un apóstrofo (') la primera cifra de la derecha (3). Dividir lo que queda a la izquierda (38) entre el doble de la raíz hallada (2x2=4)

5. El cociente (9), o una cifra menor, viene a ser la siguiente cifra de la raíz. Para probar si esta cifra (9) es la correcta, se escribe dicha cifra a la derecha del duplo de la raíz hallada (2x2=4) y el número así formado (49) se multiplíca por la cifra que se prieba (9).

6. Restar este producto (441) del número del cual separamos la primera cifra de la derecha (383). En este caso 441>383, luego la resta no es posible, entonces 9 no es la siguiente cifra de la raíz. Debe ser una menor. Probamos con 8, pero 384>383, por lo que probamos con 7.

7. Restar el producto (329) del número del cual separamos la primera cifra de la derecha (389). Como esta resta si es posible (383-329=54), el 7 viene a ser la segunda cifra de la raíz cuadrada.

8. A la derecha del nuevo resto (54), colocar el tercer periodo (59). Separar la primera cifra de la derecha (545'9) y lo que queda a la izquierda (54'5) dividirlo entre el duplo de la raíz hallada (2x27=54). El cociente o una cifra menor será la tercera cifra de la raíz buscada. Para probarlo se procede de la misma manera como en los pasos 5, 6 y 7.

9. En nuestro caso. la raíz cuadrada perfecta de 78 359 es 279 con un residuo de 518. Si se desea hacer aproximación decimal, se coloca coma decimal a la raíz y se agrega al residuo (518) dos ceros (00) por cada cifra decimal que se desee obtener. Luego se procede como si se tratara de números enteros.

Entendiste este tema?

¿Qué es la raíz n-ésima de un número?

¿Siempre es posible extraer la raíz n-ésima de todo número racional?

¿A qué es igual la raíz de un producto?

¿A qué es igual la raíz de un cociente?

¿A qué es igual la raíz de una potencia?

¿Cómo se procede para hallar la raíz n-ésima de un número relativamente grande?

¿Cuántas raíces cuadradas tiene un número racional positivo?

¿Cómo se procede para hallar la raíz cuadrada de un número racional cualquiera por la regla práctica?

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Ejercicios:

Calcular las siguientes raíces:

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