Ecuación
Recordemos que 3+2 = 2+3 ; 8+4 = 4+8. Se puede hacer que un número cualquiera sumado a otro informe una igualdad del tipo anterior. Para esto, escribimos un número más un segundo e invertimos el orden, en el lado derecho del signo igual.
Todas estas igualdades pueden representarse por una sola de la forma
Es decir con una sola igualdad estamos representando muchísimas otras que tienen la misma forma. Al hacer esto, hemos generalizado, pasando de la Aritmética al Algebra.
En Algebra empleamos letras, cada una de las cuales puede representar infinitos números. Es como si utilizáramos una clave para expresar muchos conceptos en poco espacio. Así, si escribimos x+4 = 9, decimos que esta expresión es un enunciado en clave cuya veracidad depende del valor de x. Esta letra x puede tomar cualquier valor y se denomina variable.
A un enunciado que tiene una variable se le denomina enunciado abierto. A un enunciado abierto en el que aparece el signo igual (=) se le llama ecuación.
Las ecuaciones siguen el mismo principio de las balanzas. Lo que se ponga en un miembro de la ecuación o en un platillo deberá ser igual al otro miembro o peso del otro platillo, a fin de que se establezca la igualdad o el equilibrio.
Ecuaciones con una variable de primer grado
Enunciado y proposición
Enunciado es toda expresión del lenguaje tal como:
1) Lima es la capital del Perú
2) El descubrió América en 1492
3) 4+2 = 8
4) 8<10
5) x+3 = 7
De estos enunciados podemos decir con toda seguridad, que son verdaderos 1 y 4, y que 3 es falso. A estos enunciados llamamos proposiciones.
Proposición es un enunciado con sentido en un lenguaje que afirma o niega algo. y proporciona un información. Toda proposición se caracteriza por tener solo uno de los valores: verdadero o falso, y nunca los dos valores a la vez.
Del enunciado 2 no podemos afirmar si es verdadero o falso, salvo sepamos a quién se refiere el pronombre él. Es decir, para que este enunciado sea verdadero o falso depende de la palabra él que puede ser reemplazada por Cristóbal Colón o cualquier otro nombre. Como vemos esta palabra él desempeña el papel de una variable cuyo dominio es el conjunto de todos los seres humanos.
Un enunciado, como éste que contiene uno o más variables se denomina enunciado abierto.
Enunciado abierto es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por valores determinados de su dominio se convierte en una proposición.
De los enunciados anteriores, el 5 es también un enunciado abierto cuya variable es x.
Ecuación es un enunciado abierto en el que aparece el signo igual (=).
Ejemplos:
x+3 = 7 , x+4 = 11 , 2x+3 = 7 , x+y = 8 , x-y = 1 , etc
Inecuación es otro enunciado en el que aparece uno de los signos: menor que (<), mayor que (>), menor igual que (≤), mayor o igual que (≥).
Son inecuaciones:
x+3<8 , x-1>6 , 2x+5≤9 , 3x-9≥6
Traducción de enunciados abiertos de la forma verbal a la simbólica y viceversa
Entendiste este tema?
¿Qué es una proposición?
¿Qué es un enunciado abierto?
¿Qué es una ecuación?
¿Por qué es importante traducir un enunciado verbal a la forma simbólica?
¿Cómo resolver una ecuación con una variable de primer grado? AQUÍ.
Ejercicios:
1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones o enunciados abiertos?
a) Cusco es la capital arqueológica de América?
b) Los hombres saben dos idiomas.
c) 2+8<9
d) El fundó el imperio incaico.
e) x+9=14
f) El conquistó el Perú.
g) César Vallejo escribió: "Los heraldos negros".
h) 2x-6≤10
2. Convertir en una proposición verdadera cada uno de los siguientes enunciados abiertos:
a) El proclamó la independencia del Perú.
b) El escribió "El mundo es ancho y ajeno".
c) El lago x es el más alto del mundo.
d) Y es el departamento más extenso del Perú.
e) x+5=8
f) x+2<5, donde x es un número natural.
3. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, enunciados abiertos, ecuaciones o inecuaciones:
a) Lima es el departamento más poblado del Perú.
b) x+3=10
c) 2x+5<13
d) 5y+8>18
e) 2x-3y=15
f) La edad de Luis aumentado en 2 años es igual a 12 años.
g) 3x-5≤14
h) 27+3≥15
4. Traducir los siguientes enunciados a la forma simbólica:
a) Un número aumentado en 20.
b) La edad de Enrique disminuido en 5 años.
c) El dinero de Pepe aumentado en 30 soles.
d) El doble del dinero de Pedro.
e) El triple de la edad de Silvia.
f) El doble de la edad de Luis aumentada en 10 años.
g) El costo de un libro aumentado en 40 soles.
h) El triple del costo de un lapicero disminuido en 10 soles.
i) La edad de Adrián dentro de 15 años.
j) La edad de Victor hace 12 años.
k) La edad de Roberto hace 5 años era 15 años.
l) El doble de lo que tiene Hugo disminuido en 500 soles es 7000 soles.
m) Cinco veces lo que tiene Victor aumentado en 2000 soles es 17000 soles.
n) La suma de dos números consecutivos es 39.
o) La suma del doble y del triple de un número es 60.
p) La suma de un número y del doble de su consecutivo es 32.
q) El triple de un número es igual al doble de este aumentado en 15.
r) La suma del triple de un número y el doble de su consecutivo es 22.
5. Dar un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones:
a) x+8
b) 2x+7
c) x-15
d) 3x-5
e) x+8=22
f) 2x=30
g) 2x+6=36
h) 3x-8=2x
i) 4x+15=5x
j) 2x+14=3x
6. Formular 20 enunciados en la forma verbal y traducir cada uno a la forma simbólica.
7. Formular 20 enunciados en la forma simbólica y traducir cada uno a la forma verbal.
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Todas estas igualdades pueden representarse por una sola de la forma
a+b = b+a
En Algebra empleamos letras, cada una de las cuales puede representar infinitos números. Es como si utilizáramos una clave para expresar muchos conceptos en poco espacio. Así, si escribimos x+4 = 9, decimos que esta expresión es un enunciado en clave cuya veracidad depende del valor de x. Esta letra x puede tomar cualquier valor y se denomina variable.
A un enunciado que tiene una variable se le denomina enunciado abierto. A un enunciado abierto en el que aparece el signo igual (=) se le llama ecuación.
Las ecuaciones siguen el mismo principio de las balanzas. Lo que se ponga en un miembro de la ecuación o en un platillo deberá ser igual al otro miembro o peso del otro platillo, a fin de que se establezca la igualdad o el equilibrio.
Ecuaciones con una variable de primer grado
Enunciado y proposición
Enunciado es toda expresión del lenguaje tal como:
1) Lima es la capital del Perú
2) El descubrió América en 1492
3) 4+2 = 8
4) 8<10
5) x+3 = 7
De estos enunciados podemos decir con toda seguridad, que son verdaderos 1 y 4, y que 3 es falso. A estos enunciados llamamos proposiciones.
Proposición es un enunciado con sentido en un lenguaje que afirma o niega algo. y proporciona un información. Toda proposición se caracteriza por tener solo uno de los valores: verdadero o falso, y nunca los dos valores a la vez.
Del enunciado 2 no podemos afirmar si es verdadero o falso, salvo sepamos a quién se refiere el pronombre él. Es decir, para que este enunciado sea verdadero o falso depende de la palabra él que puede ser reemplazada por Cristóbal Colón o cualquier otro nombre. Como vemos esta palabra él desempeña el papel de una variable cuyo dominio es el conjunto de todos los seres humanos.
Un enunciado, como éste que contiene uno o más variables se denomina enunciado abierto.
Enunciado abierto es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamada variable que al sustituirla por valores determinados de su dominio se convierte en una proposición.
De los enunciados anteriores, el 5 es también un enunciado abierto cuya variable es x.
Ecuación es un enunciado abierto en el que aparece el signo igual (=).
Ejemplos:
x+3 = 7 , x+4 = 11 , 2x+3 = 7 , x+y = 8 , x-y = 1 , etc
Inecuación es otro enunciado en el que aparece uno de los signos: menor que (<), mayor que (>), menor igual que (≤), mayor o igual que (≥).
Son inecuaciones:
x+3<8 , x-1>6 , 2x+5≤9 , 3x-9≥6
Traducción de enunciados abiertos de la forma verbal a la simbólica y viceversa
Entendiste este tema?
¿Qué es una proposición?
¿Qué es un enunciado abierto?
¿Qué es una ecuación?
¿Por qué es importante traducir un enunciado verbal a la forma simbólica?
¿Cómo resolver una ecuación con una variable de primer grado? AQUÍ.
Ejercicios:
1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones o enunciados abiertos?
a) Cusco es la capital arqueológica de América?
b) Los hombres saben dos idiomas.
c) 2+8<9
d) El fundó el imperio incaico.
e) x+9=14
f) El conquistó el Perú.
g) César Vallejo escribió: "Los heraldos negros".
h) 2x-6≤10
2. Convertir en una proposición verdadera cada uno de los siguientes enunciados abiertos:
a) El proclamó la independencia del Perú.
b) El escribió "El mundo es ancho y ajeno".
c) El lago x es el más alto del mundo.
d) Y es el departamento más extenso del Perú.
e) x+5=8
f) x+2<5, donde x es un número natural.
3. Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones, enunciados abiertos, ecuaciones o inecuaciones:
a) Lima es el departamento más poblado del Perú.
b) x+3=10
c) 2x+5<13
d) 5y+8>18
e) 2x-3y=15
f) La edad de Luis aumentado en 2 años es igual a 12 años.
g) 3x-5≤14
h) 27+3≥15
4. Traducir los siguientes enunciados a la forma simbólica:
a) Un número aumentado en 20.
b) La edad de Enrique disminuido en 5 años.
c) El dinero de Pepe aumentado en 30 soles.
d) El doble del dinero de Pedro.
e) El triple de la edad de Silvia.
f) El doble de la edad de Luis aumentada en 10 años.
g) El costo de un libro aumentado en 40 soles.
h) El triple del costo de un lapicero disminuido en 10 soles.
i) La edad de Adrián dentro de 15 años.
j) La edad de Victor hace 12 años.
k) La edad de Roberto hace 5 años era 15 años.
l) El doble de lo que tiene Hugo disminuido en 500 soles es 7000 soles.
m) Cinco veces lo que tiene Victor aumentado en 2000 soles es 17000 soles.
n) La suma de dos números consecutivos es 39.
o) La suma del doble y del triple de un número es 60.
p) La suma de un número y del doble de su consecutivo es 32.
q) El triple de un número es igual al doble de este aumentado en 15.
r) La suma del triple de un número y el doble de su consecutivo es 22.
5. Dar un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones:
a) x+8
b) 2x+7
c) x-15
d) 3x-5
e) x+8=22
f) 2x=30
g) 2x+6=36
h) 3x-8=2x
i) 4x+15=5x
j) 2x+14=3x
6. Formular 20 enunciados en la forma verbal y traducir cada uno a la forma simbólica.
7. Formular 20 enunciados en la forma simbólica y traducir cada uno a la forma verbal.
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el doble de un numero aumentado en 25 es 2(x+25) no 2x+25, pues no hay una coma que separe.
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