Datos Históricos - Parte 3
- Los matemáticos más importantes del período 200-1200 en la India fueron: Aryabhata (nacido el 476), Brahmagupta (nacido el 598), Mahavira (siglo IX) y Bhaskara (nacido el 1114). Muchos de sus trabajos y en general los de los matemáticos indios estaban motivados por la astronomía y la astrología. En realidad, no hay texto de matemáticas independiente, el material matemático aparece en capítulos de libros de astronomía.
- Del mismo modo que los indios, los árabes trabajaron libremente con los irracionales. De hecho, Omar Khayyam (1048-1122) y Nasir Eddin (1201-1274) afirman claramente que toda razón de magnitudes, tanto conmesurables como inconmesurables, puede ser considerada como un número.
El álgebra de Al-Khowarizmi (sobre el 825) está basada en el trabajo de Brahmagupta, pero muestra también influencias babilónicas y griegas. Al-Khowarizmi ejecuta algunas operaciones exactamente igual que Diofanto.
Sin embargo, los árabes no usaron ninguna clase de simbolismo; su álgebra es completamente retórica.
- El método de obtención del MCD por divisiones sucesivas aparece ya descrito en el siglo IV a.C. en la obra los Elementos de Euclides en dicha obra también se proponía un método para obtener el MCM de dos números efectuando su producto y dividiendo el resultado obtenido por su máximo común divisor (MCD).
- Euclides fue el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual Eratóstenes construyó su famosa Criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales. Los matemáticos Tchebychevy Landaw realizaron contribuciones sobre la distribución de los números primos.
- La divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindúes ya conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de enteros. Pascal (1623 - 1662) propuso reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.
- El Álgebra tuvo los inicios de su desarrollo entre los árabes, Al-Khowarizmi fue uno de sus más grandes exponentes, quién escribió la obra: "Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa almuqabala" que fue su obra maestra.
En sus inicios al-gabr significa ecuación, almuqabala: términos que se agregan o se quitan para que la ecuación no se vea alterada.
Los babilonios tuvieron un avance enorme en el conocimiento algebraico que superó, en mucho a los hindúes, griegos y egipcios. Esto ocurrió alrededor de hace 4000 años durante el reinado de Hamurabi (s. XX a.C.)
El álgebra floreció a niveles increíbles allí, pues no sólo resolvieron las ecuaciones de primer y segundo grado, sino también las de tercer grado.
Para los griegos los números eran considerados como "medida y esencia de las cosas materiales". como algo que además no podía desligarse de lo geométrico.
- Es en Grecia donde se hace de la geometría un estudio sistematizado; ordenado de los conocimientos adquiridos empíricamente, siendo algunos de los que aportaron en esa época: Thales de Mileto (fundador de la Escuela Jónica); Pitágoras (fundador de la Escuela Pitagórica), Zenón; Hipócrates, Platón, Arquímedes y Euclides. Este último fue uno de los más brillantes; uno de sus aportes fue sistematizar la geometría: hizo que ella partiera de definiciones; postulados y axiomas, con los cuales demostró teoremas.
- La trigonometría guarda sus inicios rudimentarios en el documento más antiguo con procedimientos matemáticos, en el papiro de Rhind. En la construcción de las pirámides egipcias aparece el cálculo de la pendiente y los egipcios introducen el concepto equivalente de cotangente. En los Elementos de Euclides no aparece la trigonometría, en el sentido estricto del término. Pero se presentan teoremas relativos a la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y problemas concretos como el teorema del coseno para un triángulo obtusángulo.
Al matemático astrónomo griego Hiparco se le considera como el padre de la trigonometría (s. II a.C.), luego fueron muchos los que aportaron a esta rama de la matemática como Aristarco de Samos, Putarco, Erastótenes de Cirene, Menelao de Alejandría y Ptolomeo quien desarrolló casi toda la trigonometría clásica que se conoce hasta la época.
- Aritmética, etimológicamente proviene de la voz griega arithmos, que significa número; los griegos distinguen en realidad, entre la Aritmética, que era más o menos la teoría de números, y la Logística, que era algo así como una aritmética aplicada o técnicas de cálculo.
Se considera que la aritmética es casi contemporánea del hombre, a quien la necesidad obligó a contar, primero con los dedos de la mano, base sin duda del sistema decimal que hoy prevalece, luego con ábacos, luego símbolos, cuyo origen se remonta a unos 3 mil años a.C., en la aritmética sumeria.
- El origen de la palabra álgebra: el matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado Aljuariz Mi, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro Al djabr w´al mukabala que quiere decir transposición y reducción de términos semejantes. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a ala teoría de las ecuaciones.
- Álgebra retórica: es aquella etapa de su nacimiento y de sus primeros pasos, en la cual no se empleaban símbolos ni abreviaturas para la representación de las cantidades de las operaciones y de las relaciones; donde el planteamiento y resolución de problemas de hacía por medio del lenguaje común.
- Álgebra sincopada: se llama así aquella etapa del álgebra en la cual se emplearon ya abreviaturas y signos para algunas de las operaciones más frecuentes, además de símbolos para las incógnitas. Se debe a Nesselman la denominación "Álgebra sincopada", y es debido a que aun cuando recurrió a algunos signos y símbolos literales cuidó mucho de conservar una correcta gramática en su lenguaje algebraico, con lo que en realidad daba la impresión de una mezcla de telegrama y taquigrafía.
- La aritmética tuvo a lo largo de la historia un avance significativo gracias a los avances realizados en "Teoría de los números" por Fermat, Cardano, Gregory y Carn.
- La trigonometría logra su estado actual cuando se simboliza, y el álgebra le da su rigurosidad operativa y su sistematización matemática.
- Así como Euclides con sus Elementos le dio un estatus a la geometría plana y del espacio que sirvió de guía durante muchos siglos, de igual forma las geometrías llamadas "no euclidianas" que tuvieron su punto de partida en la negación del V postulado de Euclides, tienen como sus exponentes: Lovachesky, Bolyal, Gauss y Rieman.
Durante la época en que vivió Regiomontano, Polonia atravesó una verdadera "Edad de oro" cultural, y la Universidad de Cracovia, en la que se matriculó Copérnico en 1491, gozaba de un gran prestigio en matemática y en astronomía. Después de ampliar estudios en derecho, medicina y astronomía en las universidades italianas de Bolonia, Padua y Ferrara, y de enseñar durante algún tiempo en Roma, Copérnico regresó a Polonia en 1510 para ocupar una canonjía en Fraunenburg (hoy Frombork). A pesar de sus múltiples obligaciones administrativas, que iban de la reforma de la moneda a contener y refrenar a la Orden Teutónica, Copérnico consiguió completar su famoso tratado, el De revolutionibus orbium coelestium, publicado en 1543, el mismo año de su muerte. Este libro contiene importantes lecciones sobre trigonometría que ya habían sido publicadas separadamente el año anterior bajo el título de De lateribus et angulis triangulorum.
- Cardano (o Cardan) no fue el descubridor original de la solución de la ecuación cúbica ni de la cuártica, tal como él mismo admite francamente en su libro. La sugerencia para resolver la cúbica, según nos dice, la obtuvo de Niccolo Tartaglia (ca. 1500 - 1557), mientras que la solución de la cuártica fue descubierta por primera vez por el antiguo secretario de Cardano, Ludovico Ferrari (1522 - 1565). Lo que no menciona Cardano en el Ars magna es el juramento solemne que le había hecho a Tartaglia, en el sentido de que no desvelaría el secreto de su resolución.
- Copérnico contribuyó a extender la influencia de la obra de Regiomontano por medio de los teoremas trigonométricos que aparecían en su De revolutionibus, pero su alumno Rheticus aún fue más lejos, combinando las ideas de Regiomontano y de Copérnico con las suyas propias, en el tratado sobre el tema más completo y elaborado que se había compuesto hasta esa época, su obra en dos volúmenes Opus palatinum de triangulis. Aquí la trigonometría se hace ya realmente mayor de edad. En ese libro el autor descarta el tratamiento tradicional de las funciones trigonométricas consideradas con respecto a un arco de circunferencia, y en lugar de ello se centra directamente en los lados de un triángulo rectángulo. Por otra parte, se estudian todas las seis funciones trigonométricas y Rheticus calcula tablas detalladas de todas ellas.
- La obra de Rheticus, que, por cierto, también había estudiado medicina como Copérnico, Chuquet, Cardano y Recorde, se ganó la admiración de Pierre de la Rameé o Petrus Ramus (1515 - 1572), un hombre que contribuyó a la matemática principalmente en un sentido pedagógico. En 1536, en el Collége de Navarre, había defendido, para conseguir el grado de magister, la atrevida tesis de que todo lo que había dicho Aristóteles era falso, y eso en una época en la que todavía las teorías peripatéticas venían a ser casi lo mismo que la ortodoxia. Por su actitud intelectual crítica y por sus intereses pedagógicos se le puede comparar con Recorde en Inlgaterra.
- La geometría pura no dejó de tener, sus representantes en el siglo XVI, ya que algunas contribuciones, bien que no espectaculares, se deben a Johannes Werner (1468 - 1522) y a Albercht Dürer o Durero (1471 - 1528) en Alemania, y a Pacioli y a Francesco Maurolico (1494 - 1575) en Italia. Una vez más constatamos la preeminencia de estos dos países en el progreso de la matemática durante el Renacimiento, pero desde un punto de vista geométrico fue mucho más importante su obra en latín, en 22 libros, sobre los Elementos de la cónica, impreso en Nuremberg en 1522. Esta obra no puede compararse de una manera favorable, desde luego, con las Cónicas de Apolonio, que era casi completamente desconocida en la época de Werner, pero hay que decir que marca una renovación en el interés por estas curvas casi por primera vez desde Pappus. Debido a que Werner estaba interesado principalmente en la duplicación del cubo, se centró en la parábola y la hipérbola, obteniendo las ecuaciones planas usuales de una manera estereométrica a partir del cono, lo mismo que habían hecho sus lejanos predecesores en la antigua Grecia. Parece haber, sin embargo, un elemento de originalidad en su método plano para construir puntos de una parábola con regla y compás.
- Viéte no era lo que podríamos llamar un matemático profesional; en su juventud estudió derecho, que más tarde cultivó, llegando a ser miembro del Parlamento de Bretaña. Posteriormente fue nombrado miembro del consejo real, en el que sirvió bajo Enrique III y más tarde bajo Enrique IV. Fue durante la época en que estuvo al servicio de este último. Enrique de Navarra, cuando consiguió un éxito tal descifrando mensajes en clave del enemigo, que los españoles lo acusaron de estar aliado con el diablo. A pesar de que Viéte sólo dedicó a la matemática sus ratos de ocio, sin embargo hizo importantes contribuciones a la aritmética, al álgebra, a la trigonometría y a la geometría. Hubo un período de casi media docena de años, antes de la ascensión al poder de Enrique IV, durante el cual Viéte cayó políticamente en desgracia, y así pudo dedicar estos años en gran parte a sus estudios matemáticos.
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- Del mismo modo que los indios, los árabes trabajaron libremente con los irracionales. De hecho, Omar Khayyam (1048-1122) y Nasir Eddin (1201-1274) afirman claramente que toda razón de magnitudes, tanto conmesurables como inconmesurables, puede ser considerada como un número.
El álgebra de Al-Khowarizmi (sobre el 825) está basada en el trabajo de Brahmagupta, pero muestra también influencias babilónicas y griegas. Al-Khowarizmi ejecuta algunas operaciones exactamente igual que Diofanto.
Sin embargo, los árabes no usaron ninguna clase de simbolismo; su álgebra es completamente retórica.
- El método de obtención del MCD por divisiones sucesivas aparece ya descrito en el siglo IV a.C. en la obra los Elementos de Euclides en dicha obra también se proponía un método para obtener el MCM de dos números efectuando su producto y dividiendo el resultado obtenido por su máximo común divisor (MCD).
- Euclides fue el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual Eratóstenes construyó su famosa Criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales. Los matemáticos Tchebychevy Landaw realizaron contribuciones sobre la distribución de los números primos.
- La divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindúes ya conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de enteros. Pascal (1623 - 1662) propuso reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.
- El Álgebra tuvo los inicios de su desarrollo entre los árabes, Al-Khowarizmi fue uno de sus más grandes exponentes, quién escribió la obra: "Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa almuqabala" que fue su obra maestra.
En sus inicios al-gabr significa ecuación, almuqabala: términos que se agregan o se quitan para que la ecuación no se vea alterada.
Los babilonios tuvieron un avance enorme en el conocimiento algebraico que superó, en mucho a los hindúes, griegos y egipcios. Esto ocurrió alrededor de hace 4000 años durante el reinado de Hamurabi (s. XX a.C.)
El álgebra floreció a niveles increíbles allí, pues no sólo resolvieron las ecuaciones de primer y segundo grado, sino también las de tercer grado.
Para los griegos los números eran considerados como "medida y esencia de las cosas materiales". como algo que además no podía desligarse de lo geométrico.
- Es en Grecia donde se hace de la geometría un estudio sistematizado; ordenado de los conocimientos adquiridos empíricamente, siendo algunos de los que aportaron en esa época: Thales de Mileto (fundador de la Escuela Jónica); Pitágoras (fundador de la Escuela Pitagórica), Zenón; Hipócrates, Platón, Arquímedes y Euclides. Este último fue uno de los más brillantes; uno de sus aportes fue sistematizar la geometría: hizo que ella partiera de definiciones; postulados y axiomas, con los cuales demostró teoremas.
- La trigonometría guarda sus inicios rudimentarios en el documento más antiguo con procedimientos matemáticos, en el papiro de Rhind. En la construcción de las pirámides egipcias aparece el cálculo de la pendiente y los egipcios introducen el concepto equivalente de cotangente. En los Elementos de Euclides no aparece la trigonometría, en el sentido estricto del término. Pero se presentan teoremas relativos a la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y problemas concretos como el teorema del coseno para un triángulo obtusángulo.
Al matemático astrónomo griego Hiparco se le considera como el padre de la trigonometría (s. II a.C.), luego fueron muchos los que aportaron a esta rama de la matemática como Aristarco de Samos, Putarco, Erastótenes de Cirene, Menelao de Alejandría y Ptolomeo quien desarrolló casi toda la trigonometría clásica que se conoce hasta la época.
- Aritmética, etimológicamente proviene de la voz griega arithmos, que significa número; los griegos distinguen en realidad, entre la Aritmética, que era más o menos la teoría de números, y la Logística, que era algo así como una aritmética aplicada o técnicas de cálculo.
Se considera que la aritmética es casi contemporánea del hombre, a quien la necesidad obligó a contar, primero con los dedos de la mano, base sin duda del sistema decimal que hoy prevalece, luego con ábacos, luego símbolos, cuyo origen se remonta a unos 3 mil años a.C., en la aritmética sumeria.
- El origen de la palabra álgebra: el matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comúnmente llamado Aljuariz Mi, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe su famoso libro Al djabr w´al mukabala que quiere decir transposición y reducción de términos semejantes. Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamarle simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a ala teoría de las ecuaciones.
- Álgebra retórica: es aquella etapa de su nacimiento y de sus primeros pasos, en la cual no se empleaban símbolos ni abreviaturas para la representación de las cantidades de las operaciones y de las relaciones; donde el planteamiento y resolución de problemas de hacía por medio del lenguaje común.
- Álgebra sincopada: se llama así aquella etapa del álgebra en la cual se emplearon ya abreviaturas y signos para algunas de las operaciones más frecuentes, además de símbolos para las incógnitas. Se debe a Nesselman la denominación "Álgebra sincopada", y es debido a que aun cuando recurrió a algunos signos y símbolos literales cuidó mucho de conservar una correcta gramática en su lenguaje algebraico, con lo que en realidad daba la impresión de una mezcla de telegrama y taquigrafía.
- La aritmética tuvo a lo largo de la historia un avance significativo gracias a los avances realizados en "Teoría de los números" por Fermat, Cardano, Gregory y Carn.
- La trigonometría logra su estado actual cuando se simboliza, y el álgebra le da su rigurosidad operativa y su sistematización matemática.
- Así como Euclides con sus Elementos le dio un estatus a la geometría plana y del espacio que sirvió de guía durante muchos siglos, de igual forma las geometrías llamadas "no euclidianas" que tuvieron su punto de partida en la negación del V postulado de Euclides, tienen como sus exponentes: Lovachesky, Bolyal, Gauss y Rieman.
Durante la época en que vivió Regiomontano, Polonia atravesó una verdadera "Edad de oro" cultural, y la Universidad de Cracovia, en la que se matriculó Copérnico en 1491, gozaba de un gran prestigio en matemática y en astronomía. Después de ampliar estudios en derecho, medicina y astronomía en las universidades italianas de Bolonia, Padua y Ferrara, y de enseñar durante algún tiempo en Roma, Copérnico regresó a Polonia en 1510 para ocupar una canonjía en Fraunenburg (hoy Frombork). A pesar de sus múltiples obligaciones administrativas, que iban de la reforma de la moneda a contener y refrenar a la Orden Teutónica, Copérnico consiguió completar su famoso tratado, el De revolutionibus orbium coelestium, publicado en 1543, el mismo año de su muerte. Este libro contiene importantes lecciones sobre trigonometría que ya habían sido publicadas separadamente el año anterior bajo el título de De lateribus et angulis triangulorum.
- Cardano (o Cardan) no fue el descubridor original de la solución de la ecuación cúbica ni de la cuártica, tal como él mismo admite francamente en su libro. La sugerencia para resolver la cúbica, según nos dice, la obtuvo de Niccolo Tartaglia (ca. 1500 - 1557), mientras que la solución de la cuártica fue descubierta por primera vez por el antiguo secretario de Cardano, Ludovico Ferrari (1522 - 1565). Lo que no menciona Cardano en el Ars magna es el juramento solemne que le había hecho a Tartaglia, en el sentido de que no desvelaría el secreto de su resolución.
- Copérnico contribuyó a extender la influencia de la obra de Regiomontano por medio de los teoremas trigonométricos que aparecían en su De revolutionibus, pero su alumno Rheticus aún fue más lejos, combinando las ideas de Regiomontano y de Copérnico con las suyas propias, en el tratado sobre el tema más completo y elaborado que se había compuesto hasta esa época, su obra en dos volúmenes Opus palatinum de triangulis. Aquí la trigonometría se hace ya realmente mayor de edad. En ese libro el autor descarta el tratamiento tradicional de las funciones trigonométricas consideradas con respecto a un arco de circunferencia, y en lugar de ello se centra directamente en los lados de un triángulo rectángulo. Por otra parte, se estudian todas las seis funciones trigonométricas y Rheticus calcula tablas detalladas de todas ellas.
- La obra de Rheticus, que, por cierto, también había estudiado medicina como Copérnico, Chuquet, Cardano y Recorde, se ganó la admiración de Pierre de la Rameé o Petrus Ramus (1515 - 1572), un hombre que contribuyó a la matemática principalmente en un sentido pedagógico. En 1536, en el Collége de Navarre, había defendido, para conseguir el grado de magister, la atrevida tesis de que todo lo que había dicho Aristóteles era falso, y eso en una época en la que todavía las teorías peripatéticas venían a ser casi lo mismo que la ortodoxia. Por su actitud intelectual crítica y por sus intereses pedagógicos se le puede comparar con Recorde en Inlgaterra.
- La geometría pura no dejó de tener, sus representantes en el siglo XVI, ya que algunas contribuciones, bien que no espectaculares, se deben a Johannes Werner (1468 - 1522) y a Albercht Dürer o Durero (1471 - 1528) en Alemania, y a Pacioli y a Francesco Maurolico (1494 - 1575) en Italia. Una vez más constatamos la preeminencia de estos dos países en el progreso de la matemática durante el Renacimiento, pero desde un punto de vista geométrico fue mucho más importante su obra en latín, en 22 libros, sobre los Elementos de la cónica, impreso en Nuremberg en 1522. Esta obra no puede compararse de una manera favorable, desde luego, con las Cónicas de Apolonio, que era casi completamente desconocida en la época de Werner, pero hay que decir que marca una renovación en el interés por estas curvas casi por primera vez desde Pappus. Debido a que Werner estaba interesado principalmente en la duplicación del cubo, se centró en la parábola y la hipérbola, obteniendo las ecuaciones planas usuales de una manera estereométrica a partir del cono, lo mismo que habían hecho sus lejanos predecesores en la antigua Grecia. Parece haber, sin embargo, un elemento de originalidad en su método plano para construir puntos de una parábola con regla y compás.
- Viéte no era lo que podríamos llamar un matemático profesional; en su juventud estudió derecho, que más tarde cultivó, llegando a ser miembro del Parlamento de Bretaña. Posteriormente fue nombrado miembro del consejo real, en el que sirvió bajo Enrique III y más tarde bajo Enrique IV. Fue durante la época en que estuvo al servicio de este último. Enrique de Navarra, cuando consiguió un éxito tal descifrando mensajes en clave del enemigo, que los españoles lo acusaron de estar aliado con el diablo. A pesar de que Viéte sólo dedicó a la matemática sus ratos de ocio, sin embargo hizo importantes contribuciones a la aritmética, al álgebra, a la trigonometría y a la geometría. Hubo un período de casi media docena de años, antes de la ascensión al poder de Enrique IV, durante el cual Viéte cayó políticamente en desgracia, y así pudo dedicar estos años en gran parte a sus estudios matemáticos.
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