Conjuntos: denotación por extensión o comprensión, relación de inclusión y sus propiedades

Hola gente! mi primer tema que les presentaré es el de CONJUNTOS. En este poste les explicaré las formas por las que se denota un conjunto. También veremos la relación de inclusión y sus propiedades. Así que siéntense y lean detenidamente que esto estará absolutamente fácil.

Un conjunto es una colección de objetos que se piensa como unidad, que no se identifica al conjunto con ninguno de esos objetos, que son sus elementos.

Veamos:
El conjunto de los tres Reyes Magos es un conjunto. Es un conjunto porque porque tiene tres elementos: Melchor, Gaspar y Baltasar.
Todo conjunto esta bien determinado, es decir que existe un criterio para decidir si cualquier objeto es o no elemento del conjunto.

Veamos:

Ejemplo 1: El conjunto de las personas altas no existe, ya que puede haber divergencia o duda para decidir si alguien es o no alto. En otros términos, "alto" es una palabra vaga.

Ejemplo 2: El conjunto de las personas vivas que miden más de 1,80 metros sí que existe.

Ejemplo 3: El conjunto de los días lindos no existe. Un agricultor, un piloto de avión, un escritor y un turista de seguro discreparán para determinar si un día de lluvia es elemento o no de dicho conjunto.

El número de elementos de un conjunto es arbitrario. Esto significa que hay conjuntos de infinitos elementos, por ejemplo: el conjunto de los números naturales.

Otros conjuntos están formados por un único elemento, por ejemplo: el conjunto del último presidente de Perú.

Existe también un conjunto sin elementos, llamado conjunto vacío, por ejemplo: el conjunto de las vacas que vuelan.

No es necesario que los elementos de un conjunto sean de la misma naturaleza. Es decir que cualquier objeto puede ser elemento de un conjunto. También, un conjunto puede ser elemento de otro conjunto.

Veamos:
El conjunto que tiene por elementos la flauta de Bartolo y el conjunto de los números pares tiene derecho a llamarse conjunto. Consta de dos elementos.
No existe ningún conjunto al que pertenecen todos los objetos.
La expresión "es elemento de" es sinónimo de "pertenece a".

Veamos:
Melchor pertenece al conjunto de los tres reyes magos. Cornelio no es elemento del conjunto de los tres reyes magos.

Retomando el ejemplo de la flauta de Bartolo y el conjunto de números pares, si llamamos A al conjunto formado por el conjunto de los números pares y la flauta de Bartolo, el numero 4 es elemento del conjunto de los números pares, pero no de A. Además, al conjunto A pertenece la flauta de Bartolo y no una parte de la misma. Tampoco el mismo conjunto A es elemento de A. Los únicos elementos del conjunto de A son: el conjunto de los números pares y la flauta de Bartolo.

Veamos con otro ejemplo:

Si llamamos B al conjunto formado por el conjunto de los números impares, el numero 3 y el museo del Prado, entonces observamos lo siguiente:

5 no es elemento de B

3 pertenece a B

Para indicar que C es el conjunto formado por el número 1, Don Quijote, la Argentina y la letra "a". escribiremos:

C = {1, Don Quijote, la Argentina, "a"}

Se lee: C es el conjunto cuyos elementos son el numero 1, Don Quijote, la Argentina y la letra "a".

Entonces, decimos que C está denotado por extensión. Esta forma de detallar un conjunto consiste en explicitarlo citando a cada uno de sus elementos.
Para expresar simbólicamente que el número 1 es elemento de C, escribiremos:

1 ∈ C 

que se lee: 1 pertenece a C o bien 1 es elemento de C.

El número 2 no es elemento de C, lo cual se expresa:

2 ∉ C

que se lee: 2 no pertenece a C o 2 no es elemento de C.

El conjunto de los números naturales menores que 10, denotado por extension, es:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

También se puede escribir así:

{x/x es un número natural menor que 10}

Y se lee: El conjunto formado por todos los x, tales que x es un número natural menor que 10.
En este caso el conjunto está denotado por comprensión. Esta forma de escribir o citar un conjunto consiste en enunciar la propiedad que poseen todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
Veamos:
El conjunto cuyos elementos son los seis primeros meses del año, denotado por extensión, es:

{enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio}

y por comprensión:

{x/x es uno de los seis primeros meses del año}

El conjunto vacío se denota mediante el símbolo Ø. 
{ Ø } no es el conjunto vacío, ya que a él pertenece un elemento: el conjunto vacío.
Veamos:
Ejemplo 1: Si llamamos P al conjunto de los números naturales pares, es:

P = {x/x es un número natural par }

P no puede ser denotado por extensión porque tiene infinitos elementos, y aunque no es correcto, suele indicarse así:

P = { 0 , 2 , 4 , 6 , ... }

Se verifica:
2 ∈ P              4 ∈ P
5 ∉ P            ∅ ∈ P
{ 2 , 4 } ∉ P, ya que los elementos de P son números y no conjuntos.

Ejemplo 2: 
Sean:  A = { 1 , 2 , 3 } y B = { 1 , A , 4 } donde el elemento A, de B es  { 1 , 2 , 3 }
O sea: B = { 1 , { 1 , 2 , 3 } , 4 }

Se verifica que:
1 ∈ A y 1 ∈ B                       4 ∉ A pero 4 ∈ B 
2 ∈ A pero 2 ∉ B                  A ∈ B

{ 1 , 2 } ∉ A y { 1 , 2 } ∉ B 
A ∉ A y B ∉ B

Relación de Inclusión
Al expresar que el conjunto de las hormigas es una parte del conjunto de los insectos se está afirmando que toda hormiga es un insecto. Llamamos H al conjunto de las hormigas e I al conjunto de los insectos, la afirmación anterior se simboliza:

H ⊂ I

Que se lee: H es parte de I, o H es un subconjunto de I, o H está incluido en I, o bien I incluye a H.

Al decir que un conjunto A está incluido en un conjunto B se afirma que todo elemento de A pertenece a B. O, lo que es lo mismo, cualquiera que sea x, si x pertenece a A, entonces pertenece a B.

La expresión simbólica de cualquiera que sea x es:

∀x

Que se lee también: para todo x

La expresión simbólica de si x pertenece a A, entonces x pertenece a B es:

                                                                x ∈ A ⇒ x ∈ B

Teniendo en cuenta estas notaciones afirmamos que:

                                            A ⊂ B que equivale a ∀x:x ∈ A ⇒ x ∈ B

Asumiremos esta afirmación como definición de inclusión entre conjuntos.

Veamos: 

Ejemplo 1: Si P denota al conjunto de los números naturales pares, y N es el conjunto de los números, entonces P ⊂ N porque:

                                          ∀x:x ∈ P ⇒ x ∈ N

Ejemplo 2: Sean los conjuntos:

A = {1 , 3 , 5} y B = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} 

Como todo elemento de A pertenece a B, se verifica que:

A ⊂ B

De la definición de inclusión se infiere que un conjunto A no está incluido en un conjunto B, si existe algún elemento de A que no pertenece a B.

Veamos:

Consideremos el conjunto de los números naturales menores que 6 y el conjunto de los números naturales que 4. Nombrando A y B a tales conjuntos es:

A = { x/x∈N y x < 6}

B = { x/x∈N y x < 4}

Entonces B ⊂ A, porque todo número menor que 4 es menor que 6. Pero A no está incluido en B, porque en número 5 es un elemento de A que no pertenece a B.

Para expresar simbólicamente que existe al menos un elemento en A escribiremos:

∃x/x ∈ A

Que se lee: Existe al menos un x tal que x es elemento de A.

La relación de inclusión presenta las siguientes propiedades:

Reflexiva: todo conjunto está incluido en sí mismo.
Si A es un conjunto de cualquiera, como todo elemento de A pertenece a A, resulta:

A⊂ A

Transitiva; si un conjunto A está incluido en un conjunto B, y este está incluido en un conjunto C, entonces A está incluido en C.

Supongamos que A⊂B y B⊂C. Como todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a C, resulta que todo elemento de A pertenece a C, o sea A⊂C.
En símbolos: 

A⊂B y B⊂C  ⇒ A⊂C 

Anti simétrica; si un conjunto A está incluido en un conjunto B, y este está incluido en A, entonces A y B son el mismo conjunto:

A⊂B y B⊂A ⇒ A=B

El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto A; simbólicamente: 

Ø⊂A

Como el conjunto vacío carece de elementos, no es cierto que exista algún elemento del conjunto vacío que no pertenezca a A, o sea, no se verifica que Ø no está incluido en el conjunto A.

En consecuencia:

Ø⊂A

Veamos:

Ejemplo 1: Formamos el conjunto cuyos elementos son todo los subconjuntos de A, siendo:

A = { 1 , 2 }

Los subconjuntos de A son:

Ø por la cuarta propiedad
{ 1 } por definición de inclusión
{ 2 } por definición de inclusión 
A por reflexividad de la inclusión

El conjunto pedido es:

{ Ø } , { 1 } , { 2 } , A }

Que se denota con P(A) y recibe el nombre de conjunto de las partes de A.

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