Teoría de las Funciones de Variable Compleja
Esta teoría abarca un amplio dominio de las matemáticas, haciéndose difícil enumerar todas sus ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta este momento. El concepto de número imaginario y después complejo se conocía desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el conjunto de operaciones. Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en diversas ramas de la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la formulación de una concepción única. En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general de las funciones de variable compleja. Esta etapa de la historia, ya en el siglo XIX, se caracterizó por la introducción de definiciones precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trató del surgimiento de las interpretaciones geométricas del concepto de número complejo.
Un tratamiento complejo teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente, en los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo sobre la teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación teórica y la interpretación geométrica de los números complejos, dándoles por primera vez la denominación que se ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios, la definición de integral en el plano complejo, el teorema integral, (conocido en la actualidad como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una función analítica en series de potencias, de estos aspectos merece especial atención la integración en el plano complejo, ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos de integrales definidas difíciles ejerció una gran influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Laplace acudió a la interpretación en variable compleja, desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominación de transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes del análisis infinitesimal.
El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando el teorema integral. Durante los años siguientes 1826 - 1829 creó la teoría de los residuos, desarrollándola en años posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.
En los años 40 quedó superado el aislamiento de la ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riermann (1826 - 1866) en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas. Los resultados fundamentales de Riemann aparecen en sus obras Fundamentos de la teoría general de funciones de variable compleja (1851) y en Teoría de las funciones de Abel (1857). Entre los problemas analizados por Riemann citaremos el de en qué medida las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretación geométrica de los números complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas "superficies de Riemann". También investigó diversas clases de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Riemann surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable compleja. Otra dirección en el desarrollo de la Teoría de Funciones de variable compleja denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815 - 1897), quien elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos fundamentales. Así, en esta época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teoría de las funciones diferenciales de Cauchy, las ideas geométricas y físicas de Riemann y la dirección analítica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos de siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.
Teoría de Números Reales y Teoría de Conjuntos AQUÍ.
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Un tratamiento complejo teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente, en los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo sobre la teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación teórica y la interpretación geométrica de los números complejos, dándoles por primera vez la denominación que se ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios, la definición de integral en el plano complejo, el teorema integral, (conocido en la actualidad como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una función analítica en series de potencias, de estos aspectos merece especial atención la integración en el plano complejo, ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos de integrales definidas difíciles ejerció una gran influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Laplace acudió a la interpretación en variable compleja, desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominación de transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes del análisis infinitesimal.
El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando el teorema integral. Durante los años siguientes 1826 - 1829 creó la teoría de los residuos, desarrollándola en años posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.
En los años 40 quedó superado el aislamiento de la ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riermann (1826 - 1866) en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas. Los resultados fundamentales de Riemann aparecen en sus obras Fundamentos de la teoría general de funciones de variable compleja (1851) y en Teoría de las funciones de Abel (1857). Entre los problemas analizados por Riemann citaremos el de en qué medida las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretación geométrica de los números complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas "superficies de Riemann". También investigó diversas clases de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Riemann surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable compleja. Otra dirección en el desarrollo de la Teoría de Funciones de variable compleja denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815 - 1897), quien elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos fundamentales. Así, en esta época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teoría de las funciones diferenciales de Cauchy, las ideas geométricas y físicas de Riemann y la dirección analítica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos de siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.
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