El misterioso número pi (π)

Le rodean muchos misterios a pi, a pesar de ser una constante natural. Aparece en los lugares más inesperados: la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre sí es:

Augustus de Morgan escribió este misterioso 3,14159; que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea. Bertrand Rusell escribió un cuento corto titulado La pesadilla del matemático, en el que escribe "El rostro de π estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y continuar con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban tras la máscara, inexorables, fríos y enigmáticos".

Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia lo es al diámetro. Sin embargo no se sabe cuando se comprendió por primera vez que ambas razones son la misma constante, simbolizada en nuestros días por la letra griega (El símbolo del que toma nombre la constante lo introdujo en 1706 el escritor matemático inglés William Jones y lo popularizó el matemático suizo Leonhard Euler en el XVIII). Arquímedes de Siracusa, el mayor matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente la equivalencia de ambas razones en su tratado Medición de un círculo. Usando polígonos de 96 lados inscritos (ídea de Antífono) y circunscritos (ídea de Brisón de Heraclea), llegó a que 3 10/71 < π < 3 10/70 y redujo un laborioso procedimiento para calcular π con cualquier precisión.

En el siglo V, el astrónomo chino Ch'ung-Chih descubrió que todos los intentos de calcular el número π realizados en Europa hasta mediados del siglo XVII se fundaron de un modo u otro en el método de Arquímedes. Ludolph van Ceulen, matemático holandés del siglo XVI dedicó gran parte de su carrera al cálculo de π. Casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 2 elevado a 62 (unos 10 elevado a 18) lados. Se dice que el valor de π que obtuvo así, denominado número ludolfiano en ciertas regiones de Europa, fue su epitafio.

Parientes próximos de quienes se esforzaron en realizar la cuadratura del círculo fueron los computadores de hombres que dedicaron años a la tarea de ir determinando cada vez más cifras decimales del número π. Evidentemente, el único procedimiento para ello es emplear algún algoritmo infinito que converja hacia π. El propio Wallis descubrió en 1665 uno de los más sencillos: El desarrollo del cálculo diferencial, obra en gran parte de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, permitió calcular π de forma mucho más expedita. El propio Newton calculó π con 15 decimales sumando unos cuantos términos de una serie, y posteriormente confesó "Me da vergüenza confesar a cuántas cifras llevé esos cálculos, que realicé por no tener otra cosa que hacer en aquel momento". En 1674 Leibniz dedujo su fórmula de convergencia exasperantemente lenta, sobre un desarrollo del arco tangente descubierto por el escocés James Gregory. En 1706, John Machin descubrió su fórmula con la que pudo calcular los 100 primeros decimales de π.

En 1844, Johann Dase, calculador mental prodigioso capaz de multiplicar de memoria dos números de 100 cifras en 8 horas, calculó en cosa de unos meses 205 cifras de π basándose en una variante de la fórmula de Machin.

El más constante entre todos los que se dedicaron al cómputo de π fue el matemático inglés William Shanks. Trabajando durante veinte años obtuvo 707 decimales en 1853. Desdichadamente, el pobre Shanks cometió un error en el decimal 528, y a partir de él todos los restantes están mal. (El error no fue descubierto hasta 1945, 92 años después y los 707 decimales de Shanks figuran todavía en muchos textos). En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC durante setenta horas de máquina con el objeto de calcular las primeras 2 037 cifras decimales de π; posteriormente otra computadora invirtió tan sólo trece minutos en las primeras 3 000. Para 1959, una computadora emplazada en Inglaterra y otra en Francia habían rebasado la cota de las primeras 10 000. El millón de cifras fue logrado por Jean Guilloud y M. Bouyer en un día con una CDC 7 600. En 1986 David H. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray-2 de la NASA con un algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica (cuadruplicaron del número de cifras en cada literación). En 1987, centenario del nacimiento de Ramanujan, Kanada consiguió más de 100 millones de cifras, y se podían conseguir fácilmente 2 000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En su libro The lore of large numbers, Philip J. Davis escribe "El misterioso y maravilloso número π se ha visto reducido a un gargarismo con el que las máquinas de calcular se aclaran la garganta".

El punto es que con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un átomo de hidrógeno. ¿Por qué entonces calcular tantas cifras? Pues porque es una prueba de la potencia de las computadoras, porque abre inesperados
en teoría de números, y ... simplemente porque el problema "esta ahí". No se ha probado que sus cifras sigan una distribución aleatoria; cabe en lo posible que a partir de un lugar deje de aparecer; por ejemplo, el 5. Hasta el momento todos los ensayos estadísticos efectuados sobre la sucesión de cifras decimales de π ha confirmado su carácter aleatorio. Esto quizá resulte un poco desconcertante para quienes piensen que debiera existir una relación un poco menos irregular entre la longitud y el diámetro de una curva tan simple y bella como la circunferencia, pero la mayor parte de los matemáticos se inclinan a creer que nunca se encontrará el menor orden ni regularidad en el desarrollo decimal de π.

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