Datos históricos - Parte 4
- Viéte encontró en 1593 una oportunidad inesperada de aplicar sus fórmulas de los ángulos múltiplos. Un matemático belga, Adriaen van Roomen o Romanus (1561 - 1615) había lanzado un desafío público a cualquiera que se sintiera con fuerzas para resolver la ecuación de grado 45:
El embajador de los Países Bajos en la corte de Enrique IV se jactaba de que no había en Francia ningún matemático capaz de resolver el problema propuesto por su compatriota. Viéte, llamado en esta ocasión a defender el honor de sus paisanos, observó que la ecuación propuesta era exactamente la que resulta al expresar K = sen 45θ en términos de x = 2 sen θ, y así pudo calcular rápidamente las raíces las raíces positivas. El éxito de Viéte impresionó tanto a van Roomen que le hizo una visita especial con esta ocasión y le confirió una distinción honorífica.
- La publicación del sistema logarítmico en 1614 fue acogida y aceptada con gran rapidez, y entre los admiradores más entusiastas de la nueva teoría estaba Henry Briggs, que fue el primer Savilian Professor de geometría en Oxford. Al año siguiente, en 1615, Briggs visitó a Napier en su residencia en Escocia, donde discutieron ambos las posibles modificaciones del método de los logaritmos. Briggs proponía que se utilizasen potencias de diez, a lo que contestó Napier que ha había pensado en ellos y que estaba de acuerdo. Napier mismo había sugerido en un cierto momento una tabla basada en las igualdades log 1 = 0 y log 10 = 10 (elevado a la décima), para evitar las fracciones, pero al final los dos hombres llegaron a la conclusión de que lo más conveniente sería que el algoritmo de uno fuese cero y que el algoritmo de diez fuese uno. Sin embargo, Napier se encontraba ya viejo y sin las energías necesarias para llevar a la práctica estas ideas, y murió en 1617, el mismo año en que apareció su Rhabdologia exponiendo el método de las varillas. El segundo de sus tratados clásicos sobre los logaritmos, el Mirifici logarithmorum canonis constructio, en el que daba Napier una exposición completa de los métodos que utilizó para calcular sus tablas, apareció póstumamente en 1619. Así pues, recayó en Briggs la tarea de construir la primera tabla de logaritmos llamados logaritmos vulgares o de Briggs. En vez de tomar potencias de un número muy próximo a uno, como había hecho Napier. Briggs comenzó a partir de la igualdad log 10 = 1, y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivamente.
- Tanto Stevin como Kepler y Galileo necesitaban para sus problemas prácticos los métodos de Arquímedes, pero todos ellos querían evitar las sutilezas lógicas del método de exhausción. Fueron en gran medida las modificaciones resultantes de los antiguos métodos infinitesimales las que condujeron finalmente al cálculo infinitesimal propiamente dicho, y Stevin fue uno de los primeros que sugirió modificaciones. En su Estática de 1586, casi exactamente un siglo antes de que Newton y Leibniz publicaran sus versiones del cálculo, demostraba el ingeniero de Brujas que el centro de gravedad de un triángulo está situado sobre una mediana.
- Stevin estaba interesado en las aplicaciones físicas de la idea de infinitos elementos infinitamente pequeños, mientras que Kepler los necesitaba para aplicarlos a las astronomía, especialmente en conexión con sus órbitas elípticas de 1609. Tan pronto como en 1604 ya se había visto Kepler conducido a las secciones cónicas en sus estudios de óptica y de las propiedades de los espejos parabólicos. Mientras que Apolonio había considerado a las cónicas como tres tipos distintos de curvas, elipses, parábolas e hipérbolas, Kepler prefería considerar cinco tipos de cónicas, pertenecientes a una familia o género. Haciendo gala de una gran imaginación y de un sentido pitagórico de la armonía, desarrolló Kepler en 1604 para las cónicas (en su obra Ad Vitellionem paralipomena, es decir, Introducción a la óptica de Vitelio) lo que podríamos llamar un principio de continuidad.
- La geometría clásica no había encontrado ningún defensor entusiasta, con la posible excepción de Menelao, desde la muerte de Apolonio cuatrocientos y más años antes, pero durante el reinado de Diocleciano (284 - 306) vivió en Alejandría un sabio a quien animaba el mismo espíritu que había movido a Euclides, Arquímedes y Apolonio: nos referimos a Pappus Alejandría, que escribió un libro hacia el año 320 con el título de Colección matemática (Synagoge).
La Colección, que es el libro más importante de Pappus, constaba originalmente de ocho libros, pero el primero y la primera parte del segundo se han perdido; en este caso la pérdida no tiene tanta importancia como la de los últimos libros de la Arithmética de Diofanto, porque todo parece indicar que los dos primeros libros de la Colección estaban dedicados esencialmente al estudio de los principios del sistema de las tetradas de Apolonio dentro de la numeración griega, pero como ya tenemos desarrollado en el Arenario el correspondiente sistema de las octadas de Arquímedes, podemos conjeturar sin grandes dificultades qué tipo de material se ha perdido de la exposición de Pappus.
- Las contribuciones de Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas, ya que nos encontramos aquí con soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces aun en casos en que una de ellas es negativa; de hecho, la primera vez que aparece sistematizada la aritmética de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.
- Bhaskara (1114-1185) fue el último matemático medieval importante de la India, y su obra representa la culminación de las contribuciones hindúes anteriores a su época. En su tratado más conocido el Lilavati, Bhaskara reunió problemas diversos procedentes de Brahmagupta y de otros matemáticos, añadiéndoles nuevas observaciones de propia cosecha. El título mismo del libro puede ser tomado.
- En el año 1475 Regiomontano fue invitado a Roma por el papa Sixto IV para tomar parte en uno de los perennes intentos de reformar el calendario, y allí murió poco después de su llegada, algunos dicen que envenenado por sus enemigos. La lista de los libros que pensaba imprimir se conserva, y cabe pensar que el desarrollo de la matemática se habría acelerado, sin duda, si Regiomontano hubiera sobrevivido. Regiomontano era, por sus variados intereses, un típico "hombre del renacimiento", como nos indica su propio nombre adoptivo: su verdadero nombre era Johann Müller de Königsberg, pero prefirió ser conocido, como tantos otros hombres de la época, por la forma latinizada del nombre de su lugar de nacimiento, y del nombre alemán de Königsberg o "Montaña del Rey", resultó su nombre de Regiomontanus.
- Si bien es cierto que le primer libro de álgebra del renacimiento El triparty de Chuquet, fue escrito por un francés, también lo que es más conocido durante este período se publicó diez años más tarde en Italia. De hecho, la Summa de aithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita del fraile Luca Pacioli (1445-1514) eclipsó el Triparty de manera tan completa que las historias antiguas del álgebra solían pasar directamente del Liber abaci de 12002 a la Summa de 1494, sin mencionar ni la obra de Chuquet ni ninguna otra intermedia.
- En Alemania, los libros de álgebra publicados llegaron a ser tan numerosos que durante algún tiempo se impuso en casi toda Europa el uso de la palabra alemana "cos", para designar a la incógnita, y el álgebra misma vino a llamarse "el corte cósico" o "corte de la cosa". Además, los símbolos germánicos para la suma y la resta terminaron por desplazar a los símbolos italianos p y m; el libro más antiguo en que aparecen impresos nuestros conocidos símbolos + y - es una aritmética comercial con el título Rechenung auff allen Kauffmanschafft, publicada en 1489, antes de la publicación de la Summa de Pacioli, por un alemán, Johann Widman (nacido hacia el 1460), "Rechenmeister" o "maestro calculista", en Leipzig. Los signos + y -, que se utilizaban originalmente, al parecer, para indicar exceso o defecto en las medidas de mercancías en los almacenes, terminaron por pasar a ser símbolos para representar las dos operaciones aritméticas básicas de sumar y restar. Incidentalmente sabemos que Widman disponía de una copia manuscrita del Álgebra de Al-Khowarizmi, obra que era bien conocida también por otros matemáticos alemanes.
- La primera mitad del siglo XVI vio surgir una verdadera multitud de álgebras germánicas, entre las más importantes de las cuales estaban las Coss (1525) de Christoph rudolff (1500-1545), el Rechnung (1527) de Peter Apian (1495-1552) y la Arithmética integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567). La primera es especialmente importante por ser uno de los primeros libros impresos que hace uso de las fracciones decimales, así como del símbolo moderno para las raíces; la segunda es notable por el hecho de que en ella, en una aritmética comercial a fin de cuentas, aparece impreso en la portada el llamado "triángulo de Pascal", casí un siglo antes del nacimiento de Pascal. La tercera de las obras que menciono, la Arithmética integra de Stifel, fue la más importante de todas las álgebras germánicas del siglo XVI. Incluye también el triángulo de Pascal, pero su importancia se debe realmente al tratamiento de los números negativos, las raíces y las potencias.
- Arquímedes (287-212 a.C.) observó que la circunferencia podía tomarse como el límite de polígonos regulares inscritos y circunscritos.
- El matemático francés Fourier descubrió la serie que lleva su nombre. Postula que cualquier función puede expresarse como una serie de funciones periódicas (senos y cosenos).
- Gabriel Cramer nació el 31 de julio de 1704 en Ginebra, Suiza. Trabajó en análisis y determinantes. Llegó a ser profesor de matemática en Ginebra. Escribió un trabajo donde relataba la historia de la física, la geometría y las matemáticas. Sin embargo Cramer es más conocido por su trabajo de determinantes (1750).
- En la Edad Media se produjeron notables adelantos en astronomía, matemáticas y química. Fue de hecho, en el islam donde se iniciaron el álgebra y la química, ciencias que desde luego sufrieron evoluciones muy diferentes. En esta etapa se produce la universalización de los numerales indoarábigos: 1;2;3;4;5;6;7;8;9;0 junto con el sistema posicional usado por todos nosotros y el simbolismo de la ciencia moderna en forma acabada.
- Mohamedibn-Musa, describe sistemáticamente los símbolos numerales y reglas de cálculos índios en un libro que, traducido después al latín como "Algoritmi de numero indorum", es el medio de difusión de todo el islam y la vía de entrada a Europa de la numeración posicional.
Sin embargo, el libro fundamental de Al-khowarizmi es el kitab-al djeber. Este título es el origen occidental de la palabra "álgebra", y este libro en particular y los matemáticos del islam en general, efectuaron la transición entre Diofanto, el algebrista del siglo III y los matemáticos italianos del renacimiento que ya son algebristas modernos.
- En teoría de los números el matemático árabe Tabit-Ibn-Korra (835-900 d.C.); tiene resultados sobre números perfectos y números amigos que definieron los pitagóricos.
- El poeta, astrónomo y matemático Omar Kayam (1038-1123) plantea por primera vez el álgebra independiente de la geometría. Sus métodos para estudiar las ecuaciones de tercer grado fueron tomados por los italianos.
- Leonardo de Pisa o Fibonacci estudió los libros de Al-khowarizmi, en 1802 publicó en Pisa Liber Abaci, donde expone el sistema de numeración indio, comparándolo con el romano. Fibonacci es el primer matemático europeo que lo adoptó y vulgarizó. El libro también contiene la mayor parte de los resultados conocidos de los árabes en álgebra y aritmética. En 1220 publicó Práctica Geométrica que hace el inventario de todos los conocimientos de la época en geometría y trigonometría. Existe una famosa sucesión que lleva el nombre de Fibonacci: es importante en numerosas áreas de las ciencias.
- Existe una figura que puede simbolizar el resurgimiento de las ciencias en el año 1000 y este personaje es el monje francés Gerberto. Nació en 950 e inició su misión evangelizadora con los numerales indios y los métodos indoarábigos de computación.
El monje Gerberto fue quien estudió la aritmética en el sistema decimal para después extender el sistema al mundo cristiano.
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El embajador de los Países Bajos en la corte de Enrique IV se jactaba de que no había en Francia ningún matemático capaz de resolver el problema propuesto por su compatriota. Viéte, llamado en esta ocasión a defender el honor de sus paisanos, observó que la ecuación propuesta era exactamente la que resulta al expresar K = sen 45θ en términos de x = 2 sen θ, y así pudo calcular rápidamente las raíces las raíces positivas. El éxito de Viéte impresionó tanto a van Roomen que le hizo una visita especial con esta ocasión y le confirió una distinción honorífica.
- La publicación del sistema logarítmico en 1614 fue acogida y aceptada con gran rapidez, y entre los admiradores más entusiastas de la nueva teoría estaba Henry Briggs, que fue el primer Savilian Professor de geometría en Oxford. Al año siguiente, en 1615, Briggs visitó a Napier en su residencia en Escocia, donde discutieron ambos las posibles modificaciones del método de los logaritmos. Briggs proponía que se utilizasen potencias de diez, a lo que contestó Napier que ha había pensado en ellos y que estaba de acuerdo. Napier mismo había sugerido en un cierto momento una tabla basada en las igualdades log 1 = 0 y log 10 = 10 (elevado a la décima), para evitar las fracciones, pero al final los dos hombres llegaron a la conclusión de que lo más conveniente sería que el algoritmo de uno fuese cero y que el algoritmo de diez fuese uno. Sin embargo, Napier se encontraba ya viejo y sin las energías necesarias para llevar a la práctica estas ideas, y murió en 1617, el mismo año en que apareció su Rhabdologia exponiendo el método de las varillas. El segundo de sus tratados clásicos sobre los logaritmos, el Mirifici logarithmorum canonis constructio, en el que daba Napier una exposición completa de los métodos que utilizó para calcular sus tablas, apareció póstumamente en 1619. Así pues, recayó en Briggs la tarea de construir la primera tabla de logaritmos llamados logaritmos vulgares o de Briggs. En vez de tomar potencias de un número muy próximo a uno, como había hecho Napier. Briggs comenzó a partir de la igualdad log 10 = 1, y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivamente.
- Tanto Stevin como Kepler y Galileo necesitaban para sus problemas prácticos los métodos de Arquímedes, pero todos ellos querían evitar las sutilezas lógicas del método de exhausción. Fueron en gran medida las modificaciones resultantes de los antiguos métodos infinitesimales las que condujeron finalmente al cálculo infinitesimal propiamente dicho, y Stevin fue uno de los primeros que sugirió modificaciones. En su Estática de 1586, casi exactamente un siglo antes de que Newton y Leibniz publicaran sus versiones del cálculo, demostraba el ingeniero de Brujas que el centro de gravedad de un triángulo está situado sobre una mediana.
- Stevin estaba interesado en las aplicaciones físicas de la idea de infinitos elementos infinitamente pequeños, mientras que Kepler los necesitaba para aplicarlos a las astronomía, especialmente en conexión con sus órbitas elípticas de 1609. Tan pronto como en 1604 ya se había visto Kepler conducido a las secciones cónicas en sus estudios de óptica y de las propiedades de los espejos parabólicos. Mientras que Apolonio había considerado a las cónicas como tres tipos distintos de curvas, elipses, parábolas e hipérbolas, Kepler prefería considerar cinco tipos de cónicas, pertenecientes a una familia o género. Haciendo gala de una gran imaginación y de un sentido pitagórico de la armonía, desarrolló Kepler en 1604 para las cónicas (en su obra Ad Vitellionem paralipomena, es decir, Introducción a la óptica de Vitelio) lo que podríamos llamar un principio de continuidad.
- La geometría clásica no había encontrado ningún defensor entusiasta, con la posible excepción de Menelao, desde la muerte de Apolonio cuatrocientos y más años antes, pero durante el reinado de Diocleciano (284 - 306) vivió en Alejandría un sabio a quien animaba el mismo espíritu que había movido a Euclides, Arquímedes y Apolonio: nos referimos a Pappus Alejandría, que escribió un libro hacia el año 320 con el título de Colección matemática (Synagoge).
La Colección, que es el libro más importante de Pappus, constaba originalmente de ocho libros, pero el primero y la primera parte del segundo se han perdido; en este caso la pérdida no tiene tanta importancia como la de los últimos libros de la Arithmética de Diofanto, porque todo parece indicar que los dos primeros libros de la Colección estaban dedicados esencialmente al estudio de los principios del sistema de las tetradas de Apolonio dentro de la numeración griega, pero como ya tenemos desarrollado en el Arenario el correspondiente sistema de las octadas de Arquímedes, podemos conjeturar sin grandes dificultades qué tipo de material se ha perdido de la exposición de Pappus.
- Las contribuciones de Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas, ya que nos encontramos aquí con soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces aun en casos en que una de ellas es negativa; de hecho, la primera vez que aparece sistematizada la aritmética de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta.
- Bhaskara (1114-1185) fue el último matemático medieval importante de la India, y su obra representa la culminación de las contribuciones hindúes anteriores a su época. En su tratado más conocido el Lilavati, Bhaskara reunió problemas diversos procedentes de Brahmagupta y de otros matemáticos, añadiéndoles nuevas observaciones de propia cosecha. El título mismo del libro puede ser tomado.
- En el año 1475 Regiomontano fue invitado a Roma por el papa Sixto IV para tomar parte en uno de los perennes intentos de reformar el calendario, y allí murió poco después de su llegada, algunos dicen que envenenado por sus enemigos. La lista de los libros que pensaba imprimir se conserva, y cabe pensar que el desarrollo de la matemática se habría acelerado, sin duda, si Regiomontano hubiera sobrevivido. Regiomontano era, por sus variados intereses, un típico "hombre del renacimiento", como nos indica su propio nombre adoptivo: su verdadero nombre era Johann Müller de Königsberg, pero prefirió ser conocido, como tantos otros hombres de la época, por la forma latinizada del nombre de su lugar de nacimiento, y del nombre alemán de Königsberg o "Montaña del Rey", resultó su nombre de Regiomontanus.
- Si bien es cierto que le primer libro de álgebra del renacimiento El triparty de Chuquet, fue escrito por un francés, también lo que es más conocido durante este período se publicó diez años más tarde en Italia. De hecho, la Summa de aithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita del fraile Luca Pacioli (1445-1514) eclipsó el Triparty de manera tan completa que las historias antiguas del álgebra solían pasar directamente del Liber abaci de 12002 a la Summa de 1494, sin mencionar ni la obra de Chuquet ni ninguna otra intermedia.
- En Alemania, los libros de álgebra publicados llegaron a ser tan numerosos que durante algún tiempo se impuso en casi toda Europa el uso de la palabra alemana "cos", para designar a la incógnita, y el álgebra misma vino a llamarse "el corte cósico" o "corte de la cosa". Además, los símbolos germánicos para la suma y la resta terminaron por desplazar a los símbolos italianos p y m; el libro más antiguo en que aparecen impresos nuestros conocidos símbolos + y - es una aritmética comercial con el título Rechenung auff allen Kauffmanschafft, publicada en 1489, antes de la publicación de la Summa de Pacioli, por un alemán, Johann Widman (nacido hacia el 1460), "Rechenmeister" o "maestro calculista", en Leipzig. Los signos + y -, que se utilizaban originalmente, al parecer, para indicar exceso o defecto en las medidas de mercancías en los almacenes, terminaron por pasar a ser símbolos para representar las dos operaciones aritméticas básicas de sumar y restar. Incidentalmente sabemos que Widman disponía de una copia manuscrita del Álgebra de Al-Khowarizmi, obra que era bien conocida también por otros matemáticos alemanes.
- La primera mitad del siglo XVI vio surgir una verdadera multitud de álgebras germánicas, entre las más importantes de las cuales estaban las Coss (1525) de Christoph rudolff (1500-1545), el Rechnung (1527) de Peter Apian (1495-1552) y la Arithmética integra (1544) de Michael Stifel (1487-1567). La primera es especialmente importante por ser uno de los primeros libros impresos que hace uso de las fracciones decimales, así como del símbolo moderno para las raíces; la segunda es notable por el hecho de que en ella, en una aritmética comercial a fin de cuentas, aparece impreso en la portada el llamado "triángulo de Pascal", casí un siglo antes del nacimiento de Pascal. La tercera de las obras que menciono, la Arithmética integra de Stifel, fue la más importante de todas las álgebras germánicas del siglo XVI. Incluye también el triángulo de Pascal, pero su importancia se debe realmente al tratamiento de los números negativos, las raíces y las potencias.
- Arquímedes (287-212 a.C.) observó que la circunferencia podía tomarse como el límite de polígonos regulares inscritos y circunscritos.
- El matemático francés Fourier descubrió la serie que lleva su nombre. Postula que cualquier función puede expresarse como una serie de funciones periódicas (senos y cosenos).
- Gabriel Cramer nació el 31 de julio de 1704 en Ginebra, Suiza. Trabajó en análisis y determinantes. Llegó a ser profesor de matemática en Ginebra. Escribió un trabajo donde relataba la historia de la física, la geometría y las matemáticas. Sin embargo Cramer es más conocido por su trabajo de determinantes (1750).
- En la Edad Media se produjeron notables adelantos en astronomía, matemáticas y química. Fue de hecho, en el islam donde se iniciaron el álgebra y la química, ciencias que desde luego sufrieron evoluciones muy diferentes. En esta etapa se produce la universalización de los numerales indoarábigos: 1;2;3;4;5;6;7;8;9;0 junto con el sistema posicional usado por todos nosotros y el simbolismo de la ciencia moderna en forma acabada.
- Mohamedibn-Musa, describe sistemáticamente los símbolos numerales y reglas de cálculos índios en un libro que, traducido después al latín como "Algoritmi de numero indorum", es el medio de difusión de todo el islam y la vía de entrada a Europa de la numeración posicional.
Sin embargo, el libro fundamental de Al-khowarizmi es el kitab-al djeber. Este título es el origen occidental de la palabra "álgebra", y este libro en particular y los matemáticos del islam en general, efectuaron la transición entre Diofanto, el algebrista del siglo III y los matemáticos italianos del renacimiento que ya son algebristas modernos.
- En teoría de los números el matemático árabe Tabit-Ibn-Korra (835-900 d.C.); tiene resultados sobre números perfectos y números amigos que definieron los pitagóricos.
- El poeta, astrónomo y matemático Omar Kayam (1038-1123) plantea por primera vez el álgebra independiente de la geometría. Sus métodos para estudiar las ecuaciones de tercer grado fueron tomados por los italianos.
- Leonardo de Pisa o Fibonacci estudió los libros de Al-khowarizmi, en 1802 publicó en Pisa Liber Abaci, donde expone el sistema de numeración indio, comparándolo con el romano. Fibonacci es el primer matemático europeo que lo adoptó y vulgarizó. El libro también contiene la mayor parte de los resultados conocidos de los árabes en álgebra y aritmética. En 1220 publicó Práctica Geométrica que hace el inventario de todos los conocimientos de la época en geometría y trigonometría. Existe una famosa sucesión que lleva el nombre de Fibonacci: es importante en numerosas áreas de las ciencias.
- Existe una figura que puede simbolizar el resurgimiento de las ciencias en el año 1000 y este personaje es el monje francés Gerberto. Nació en 950 e inició su misión evangelizadora con los numerales indios y los métodos indoarábigos de computación.
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