Matemática en el Siglo XX
Un primer punto a señalar es la escisión, mucho más pronunciada en el siglo XX que en épocas anteriores, entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas. Los problemas de matemáticas puras son tan numerosos y tan diversos, y requieren tantos conocimientos previos para poder abordarlos, que absorben la total actividad de quienes lo estudian.
Asimismo, los matemáticos que afrontan de llano los problemas puros y aplicaciones constituyen una excepción, y J. von Neumann es el único entre ellos que ha alcanzado una celebridad mundial. Sin duda, la física continúa planteando a los matemáticos un buen número de problemas difíciles e interesantes; pero incluso en dominios como las ecuaciones en derivadas parciales, estos problemas no son ya hoy los más importantes. Aquí, como en todas partes, han cedido el paso a las cuestiones vinculadas íntimamente con el desarrollo intrínseco de las ideas matemáticas, a la búsqueda de las estructuras esenciales que rigen los fenómenos.
Asimismo se cuenta hoy en día, aparte de los matemáticos puros (que se alejan poco a poco de lo real), con toda una serie de ciencias paramatemáticas, en las que los investigadores se dedican a traducir, en resultados aplicables a la práctica, las especulaciones abstractas de sus colegas; estas aplicaciones se han multiplicado sobre todo desde que las máquinas electrónicas han permitido considerar la posibilidad de cálculos numéricos que por su longitud eran, en otros tiempos, inabordables. Anteriormente, la aplicación cada vez más activa de los modelos estadísticos en numerosos campos había llevado, a partir de 1910 aproximadamente, a considerarla una especialización íntimamente vinculada al cálculo de probabilidades (el cual, a su vez, adquirió a partir de 1930, un carácter mucho más teórico y abstracto).
Por otro lado, mencionar el desarrollo más inesperado, paralelamente a la propia matemática, de la lógica matemática, que constituye hoy en día uno de los puntos de partida de las matemáticas aplicadas. Frutos de las grandes controversias de principios de siglo sobre fundamentos de las matemáticas, esta disciplina ha tomado prestados, según idea fundamental de Hilbert, los propios útiles de la matemática.
En el interior mismo de las matemáticas puras, asistimos al eterno combate entre las tendencias a la especialización y a la concentración. Teniendo en cuenta el enorme aumento del número de investigadores, resultados y métodos de ataque, parecería que la primera de estas tendencias debe vencer, por la imposibilidad física de dominar un campo tan vasto; el destino de las matemáticas consistiría en fragmentarse en una serie de disciplinas autónomas que se ignoran, más o menos,entre sí.
Los grandes matemáticos hasta comienzos de este siglo siempre pudieron vencer esta tentación a la especialización; y en ellos vemos cómo sus ideas reaccionan con provecho, sin cesar, de una parte de las matemáticas a la otra. Mas estaba reservado a nuestra época el ver cómo nacen esfuerzos sistemáticos de concentración que tienden a reagrupar las matemáticas alrededor de unos pocos principios generales que permiten dominar los más variados aspectos.
A la escuela alemana, y sobre todo a Hilbert, se deben los primeros pasos de esta nueva vía. Habiendo discernido que la teoría de conjuntos de Cantor, junto con la aritmetización progresiva de diversas ramas de las matemáticas en el siglo XX, suministraba a toda la matemática un fundamento único, Hilbert y Dedeknid ofrecieron, ya en los últimos años del siglo XIX, los primeros ejemplos de teorías axiomáticas abstractas, conscientemente desarrolladas, con objeto de englobar varias teorías ya existentes, que no figuraban más que como casos particulares, y que se explicaban de esta forma n un plano superior.
A partir del año 1910, este movimiento, con Steinitz y Hausdorff, en Alemania, y posteriormente las escuelas alemana y polaca de la posguerra, adquiría una fuerza siempre creciente y dominaría poco a poco el pensamiento matemático moderno. Sus líneas se concretan en numerosas obras, la más ambiciosa de las cuales está formada por los Élements de mathématique, de N. Bourbaki, redactados después de 1935 por un equipo de matemáticos, la mayoría franceses, y pertenecientes a la generación que había intentado devolver a la escuela francesa su vocación tradicional de universalidad perdida. Este tratado reconsidera a las matemáticas desde su principio, sin suponer ningún conocimiento previo; agrupa las distintas partes de las matemáticas no ya siguiendo las divisiones tradicionales, basadas en su forma superficial, sino según sus afinidades profundas, evidenciadas mediante el esclarecimiento de su estructura axiomática.
Asimismo, los matemáticos que afrontan de llano los problemas puros y aplicaciones constituyen una excepción, y J. von Neumann es el único entre ellos que ha alcanzado una celebridad mundial. Sin duda, la física continúa planteando a los matemáticos un buen número de problemas difíciles e interesantes; pero incluso en dominios como las ecuaciones en derivadas parciales, estos problemas no son ya hoy los más importantes. Aquí, como en todas partes, han cedido el paso a las cuestiones vinculadas íntimamente con el desarrollo intrínseco de las ideas matemáticas, a la búsqueda de las estructuras esenciales que rigen los fenómenos.
Asimismo se cuenta hoy en día, aparte de los matemáticos puros (que se alejan poco a poco de lo real), con toda una serie de ciencias paramatemáticas, en las que los investigadores se dedican a traducir, en resultados aplicables a la práctica, las especulaciones abstractas de sus colegas; estas aplicaciones se han multiplicado sobre todo desde que las máquinas electrónicas han permitido considerar la posibilidad de cálculos numéricos que por su longitud eran, en otros tiempos, inabordables. Anteriormente, la aplicación cada vez más activa de los modelos estadísticos en numerosos campos había llevado, a partir de 1910 aproximadamente, a considerarla una especialización íntimamente vinculada al cálculo de probabilidades (el cual, a su vez, adquirió a partir de 1930, un carácter mucho más teórico y abstracto).
Por otro lado, mencionar el desarrollo más inesperado, paralelamente a la propia matemática, de la lógica matemática, que constituye hoy en día uno de los puntos de partida de las matemáticas aplicadas. Frutos de las grandes controversias de principios de siglo sobre fundamentos de las matemáticas, esta disciplina ha tomado prestados, según idea fundamental de Hilbert, los propios útiles de la matemática.
En el interior mismo de las matemáticas puras, asistimos al eterno combate entre las tendencias a la especialización y a la concentración. Teniendo en cuenta el enorme aumento del número de investigadores, resultados y métodos de ataque, parecería que la primera de estas tendencias debe vencer, por la imposibilidad física de dominar un campo tan vasto; el destino de las matemáticas consistiría en fragmentarse en una serie de disciplinas autónomas que se ignoran, más o menos,entre sí.
Los grandes matemáticos hasta comienzos de este siglo siempre pudieron vencer esta tentación a la especialización; y en ellos vemos cómo sus ideas reaccionan con provecho, sin cesar, de una parte de las matemáticas a la otra. Mas estaba reservado a nuestra época el ver cómo nacen esfuerzos sistemáticos de concentración que tienden a reagrupar las matemáticas alrededor de unos pocos principios generales que permiten dominar los más variados aspectos.
A la escuela alemana, y sobre todo a Hilbert, se deben los primeros pasos de esta nueva vía. Habiendo discernido que la teoría de conjuntos de Cantor, junto con la aritmetización progresiva de diversas ramas de las matemáticas en el siglo XX, suministraba a toda la matemática un fundamento único, Hilbert y Dedeknid ofrecieron, ya en los últimos años del siglo XIX, los primeros ejemplos de teorías axiomáticas abstractas, conscientemente desarrolladas, con objeto de englobar varias teorías ya existentes, que no figuraban más que como casos particulares, y que se explicaban de esta forma n un plano superior.
A partir del año 1910, este movimiento, con Steinitz y Hausdorff, en Alemania, y posteriormente las escuelas alemana y polaca de la posguerra, adquiría una fuerza siempre creciente y dominaría poco a poco el pensamiento matemático moderno. Sus líneas se concretan en numerosas obras, la más ambiciosa de las cuales está formada por los Élements de mathématique, de N. Bourbaki, redactados después de 1935 por un equipo de matemáticos, la mayoría franceses, y pertenecientes a la generación que había intentado devolver a la escuela francesa su vocación tradicional de universalidad perdida. Este tratado reconsidera a las matemáticas desde su principio, sin suponer ningún conocimiento previo; agrupa las distintas partes de las matemáticas no ya siguiendo las divisiones tradicionales, basadas en su forma superficial, sino según sus afinidades profundas, evidenciadas mediante el esclarecimiento de su estructura axiomática.
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